54 Explique por que
se e somente se
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a igualdade
só ocorre exatamente quando
ou
.
O conteúdo usado será a expansão de binômio, manipulação algébrica e fatoração.
O conteúdo usado será a expansão de binômio, manipulação algébrica e fatoração.
Passo 2
Expandimos o quadrado do binômio usando a identidade de binômio de Newton:
Passo 3
Igualamos essa expansão à expressão dada e simplificamos:
Subtraindo
de ambos os lados e somando
, obtemos
Passo 4
Fatoramos o lado esquerdo:
Dessa fatoração, concluímos que o produto é zero se e somente se
Passo 5
Para o recíproco, verificamos que se
ou
, a substituição em
e em
leva à mesma expressão, confirmando o “se e somente se”.