54 Explique por que (a-b)^{2}=a^{2}-b^{2} se e somente se b=0 ou b=a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a igualdade
(a-b)^{2} = a^{2} - b^{2}
só ocorre exatamente quando b=0 ou b=a.
O conteúdo usado será a expansão de binômio, manipulação algébrica e fatoração.

Passo 2

Expandimos o quadrado do binômio usando a identidade de binômio de Newton:
(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}.

Passo 3

Igualamos essa expansão à expressão dada e simplificamos:
a^{2} - 2ab + b^{2} = a^{2} - b^{2}.
Subtraindo a^{2} de ambos os lados e somando b^{2}, obtemos
-2ab + 2b^{2} = 0.

Passo 4

Fatoramos o lado esquerdo:
-2ab + 2b^{2} = 2b\,(b - a) = 0.
Dessa fatoração, concluímos que o produto é zero se e somente se
b = 0 \quad\text{ou}\quad b - a = 0 \;\Longleftrightarrow\; b = a.

Passo 5

Para o recíproco, verificamos que se b=0 ou b=a, a substituição em (a-b)^{2} e em a^{2}-b^{2} leva à mesma expressão, confirmando o “se e somente se”.

Resposta

\,b = 0 ou \,b = a.

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