Ext 6.2: Esboce e escreva integrais que calculem a área da região limitada por:
(b) y=x^3-3 x^2+2 x e y=3 x-x^2-2 (interseção em x=-1,1,2 ).

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^3 - 3x^2 + 2x
e
y = 3x - x^2 - 2
cuja interseção ocorre em x=-1, x=1 e x=2. Vamos esboçar o gráfico qualitativamente e, em seguida, montar integrais que somem a diferença entre a função de cima e a de baixo em cada intervalo onde elas trocam de posição.

Passo 2

Determinar as abscissas de interseção resolvendo
x^3 - 3x^2 + 2x = 3x - x^2 - 2
Reagrupando,
x^3 - 3x^2 + 2x - 3x + x^2 + 2 = 0 Longrightarrow x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0
Fatorando pelo teorema do resto:
x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)(x-2)(x+1),
logo as raízes são x=-1, x=1 e x=2.

Passo 3

Precisamos saber em cada subintervalo qual curva está acima. Seja
f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x, g(x) = 3x - x^2 - 2
No ponto de teste x=0 (entre -1 e 1):
f(0)=0, g(0)=-2 Longrightarrow f(0)>g(0),
ou seja, f está acima de g em [-1,1].
No ponto de teste x=1,5 (entre 1 e 2):
f(1,5)=1,5^3-3cdot1,5^2+2cdot1,5=-0,375, g(1,5)=3cdot1,5-1,5^2-2=0,25,
logo g está acima de f em [1,2].

Passo 4

A área total é a soma das áreas em cada trecho, sempre tomando a função de cima menos a de baixo:
A = integral-1^1 l[f(x) - g(x)r],dx ;+; integral1^2 l[g(x) - f(x)r],dx
Substituindo f e g:
A = integral-1^1 l[(x^3-3x^2+2x)-(3x - x^2-2)r],dx + integral1^2 l[(3x - x^2-2)-(x^3-3x^2+2x)r],dx

Resposta

A = integral-1^1 l[x^3-2x^2-x+2r],dx ;+; integral1^2 l[-x^3+2x^2+x-2r],dx

Exercícios de Livros Relacionados