Ext 6.6: Esboce a região do plano e calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x da região do plano delimitada:
(a) acima pelo gráfico de f(x)=raizlog (x)-1x, abaixo pelo eixo x e a esquerda por x=e (região infinita).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região delimitada por:
– acima pelo gráfico
f(x) = raizlog(x)-1x,
– abaixo pelo eixo x,
– à esquerda pela reta x = e,
e que se estende até xtoinfty.
Note que o domínio de f é x>= e, pois precisamos de log(x)-1>=0. Em x=e temos f(e)=0, em xtoinfty também f(x)to0, formando uma “corcova” acima do eixo x.

Passo 2

Usamos o método dos discos: o raio do disco em cada x é f(x), então
V = pi integrale^infty l[f(x)r]^2,dx = pi integrale^infty log(x)-1x^2,dx

Passo 3

Para calcular
integral log(x)-1x^2,dx,
fazemos a substituição t = log(x), de modo que dt = dxx e x = e^t. Então
log(x)-1x^2,dx = t-1e^2t;e^tdt = (t-1)e^-tdt
Agora
integral (t-1)e^-tdt = integral t,e^-tdt ;-;integral e^-tdt = l(-t e^-t-e^-tr) - l(-e^-tr) = -t,e^-t
Voltando a x, obtemos
integral log(x)-1x^2,dx = -,log(x)x + C

Passo 4

Trata-se de integral imprópria, logo
integrale^infty log(x)-1x^2,dx = limbtoinftyl[-log(x)xr]x=e^x=b = limbtoinftyl(-log(b)br) ;-;l(-log(e)er)
Como log(b)bto0 quando btoinfty, fica
0 - l(-tfrac1er) = 1e
Portanto
V = pi cdot 1e = pie

Resposta

V = pie

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