Ext 6.5: Seja
a região do plano delimitada pelas curvas
e
para
.
(a) Esboce
;
(b) Determine
tal que a área de
seja igual a 32 .
(a) Esboce
(b) Determine
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com a região
do plano delimitada pelas curvas
e
onde
. No item (a) devemos esboçar essa região e no (b) calcular
tal que a área de
seja igual a 32. Para isso vamos precisar:
– Encontrar os pontos de interseção das parábolas;
– Descrever qualitativamente o esboço de ;
– Calcular a área pelo método de integração da diferença entre as funções;
– Resolver a equação área 32 para
.
– Encontrar os pontos de interseção das parábolas;
– Descrever qualitativamente o esboço de
– Calcular a área pelo método de integração da diferença entre as funções;
– Resolver a equação área
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo,
Passo 3
O gráfico de
é uma parábola voltada para baixo com vértice em
.
O gráfico de
O gráfico de
é uma parábola voltada para cima com vértice em
.
Elas se cruzam em e, para cada
nesse intervalo,
fica acima de
. A região
é a “fita” vertical entre essas curvas, para
.
Elas se cruzam em
Passo 4
A área de
é
Fatorando 3 e integrando:
Passo 5
Impondo
, temos
Resposta
O valor de
que faz a área de
igual a 32 é
.