Ext 6.5: Seja R a região do plano delimitada pelas curvas y=c-x^2 e 2 x^2-2 c para c>0.
(a) Esboce R;
(b) Determine c>0 tal que a área de R seja igual a 32 .

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a região R do plano delimitada pelas curvas
y = c - x^2
e
y = 2x^2 - 2c
onde c>0. No item (a) devemos esboçar essa região e no (b) calcular c>0 tal que a área de R seja igual a 32. Para isso vamos precisar:
– Encontrar os pontos de interseção das parábolas;
– Descrever qualitativamente o esboço de R;
– Calcular a área pelo método de integração da diferença entre as funções;
– Resolver a equação área = 32 para c.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
c - x^2 = 2x^2 - 2c
Resolvendo,
3x^2 = 3c Longrightarrow x^2 = c Longrightarrow x = pmraizc

Passo 3

O gráfico de
y = c - x^2
é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,c).
O gráfico de
y = 2x^2 - 2c
é uma parábola voltada para cima com vértice em (0,-2c).
Elas se cruzam em x=pmraizc e, para cada x nesse intervalo, c - x^2 fica acima de 2x^2 - 2c. A região R é a “fita” vertical entre essas curvas, para -raizc<= x<=raizc.

Passo 4

A área de R é
integral-raizc^raizcl[(c - x^2) - (2x^2 - 2c)r],dx =integral-raizc^raizcl(3c - 3x^2r),dx
Fatorando 3 e integrando:
Área =3integral-raizc^raizc!(c - x^2),dx =3l[c,x - tfracx^33r]-raizc^raizc =4,c^3/2 Á

Passo 5

Impondo Área=32Á, temos
4,c^3/2 = 32 Longrightarrow c^3/2 = 8 Longrightarrow c = 8^2/3 = 4

Resposta

O valor de c>0 que faz a área de R igual a 32 é c=4.

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