Ext 6.4: Neste exercício vamos mostrar como definir log para depois definir a exponencial. Defina f(x)=integral1^x d x / x. Fingindo que você não sabe a primitiva de 1 / x, somente mudando variável, prove que f(a b)=f(a)+f(b).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=integral1^xdtt
e pede para mostrar que, fingindo não conhecer a primitiva de 1/t, apenas com mudança de variável, vale
f(ab)=f(a)+f(b)
O conteúdo aqui é a propriedade de aditividade de integrais impróprias ou definidas, usando mudança de variável.

Passo 2

Começamos escrevendo
f(ab)=integral1^abdtt
Como 1<a<ab (assumindo a>0 e b>0), podemos quebrar integral em dois trechos:
integral1^abdtt =integral1^adtt +integrala^abdtt
O primeiro termo é exatamente f(a).

Passo 3

Para o segundo termo, fazemos a mudança de variável
t = a,u, dt=a,du
Quando t=a, u=1; e quando t=ab, u=b. Logo,
integrala^abdtt =integralu=1^u=ba,dua,u =integral1^bduu =f(b)

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
f(ab)=underbraceintegral1^adttf(a) +underbraceintegral1^bduuf(b) =f(a)+f(b)

Resposta

f(ab)=f(a)+f(b)

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