Faça um esboço da curva da função exponencial ou logarítmica dada sem usar os métodos do cálculo.
f(x)=-2 e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede um esboço da curva da função f(x) = -2e^{-x} sem recorrer a derivadas nem métodos do cálculo. O conteúdo é transformação de gráficos de funções exponenciais, e vamos precisar identificar domínio, imagem, assíntotas, pontos notáveis e comportamento geral para desenhar o gráfico.

Passo 2

Determine domínio e imagem de f.
O expo-nencial e^{-x} está definido para todo x\in\mathbb{R}, logo o domínio é \mathbb{R}. Como e^{-x}>0 para todo x, tem-se
f(x) = -2 e^{-x} < 0,
portanto a imagem é \bigl(-\infty,0\bigr).

Passo 3

Encontre assíntotas horizontais.
À medida que x\to+\infty, e^{-x}\to0^+, então
f(x) = -2e^{-x}\longrightarrow0^-.
Isso indica uma assíntota horizontal y=0, e a curva aproxima-se dela por baixo. Quando x\to-\infty, e^{-x}\to+\infty e f(x)\to-\infty.

Passo 4

Calcule pontos de referência.
Em x=0:
f(0) = -2e^{0} = -2.
Em x=1:
f(1) = -2e^{-1}\approx -2\cdot0{,}37 \approx -0{,}74.
Em x=-1:
f(-1) = -2e^{1}\approx -2\cdot2{,}72 \approx -5{,}44.

Passo 5

Descreva o formato do gráfico.
Como e^{-x} é decrescente em x, o produto -2e^{-x} torna f estritamente crescente: para x maiores, f(x) fica “menos negativo” aproximando-se de zero. Assim, a curva parte de -\infty em x\to-\infty, passa por \bigl(-1,-5{,}44\bigr), por \bigl(0,-2\bigr), por \bigl(1,-0{,}74\bigr) e aproxima-se horizontalmente de y=0 quando x\to+\infty.

Resposta

O esboço deverá mostrar:
– domínio em \mathbb{R} e imagem em \bigl(-\infty,0\bigr);
– assíntota horizontal y=0 (acessada por baixo);
– pontos \bigl(-1,-5,44\bigr), \bigl(0,-2\bigr), \bigl(1,-0,74\bigr);
– curva estritamente crescente, que vai de -\infty (em x\to-\infty) até a assíntota y=0 (em x\to+\infty).

Exercícios de Livros Relacionados