(FGV-17) A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz B=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ -5 & 2\end{array}\right] obtendo-se a matriz codificada B.A. Sabendo que a matriz 3.A é igual a \left[\begin{array}{cc}-10 & 27 \\\\ 21 & -39\end{array}\right], podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz A é:
a) 48
b) 46
c) 47
d) 49
e) 50

Passo 1

O enunciado diz que a matriz A é codificada pelo produto
B \cdot A
onde
B = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[6pt] -5 & 2\end{pmatrix}
e que esse produto vale
C = \begin{pmatrix}-10 & 27 \\[6pt] 21 & -39\end{pmatrix}.
Queremos, então, recuperar A e calcular a soma de todos os seus elementos. O conteúdo aqui é inversão de matriz 2\times2 e multiplicação de matrizes.]

Passo 2

Como \det(B)=3\cdot2-(-1)\cdot(-5)=6-5=1, a inversa de B é
B^{-1} =\frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4pt] 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4pt] 5 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para encontrar A, usamos
A = B^{-1}\,C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4pt] 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -10 & 27 \\[6pt] 21 & -39 \end{pmatrix}.
Fazendo o produto:
A = \begin{pmatrix} 2\cdot(-10)+1\cdot21 & 2\cdot27+1\cdot(-39) \\[6pt] 5\cdot(-10)+3\cdot21 & 5\cdot27+3\cdot(-39) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 15 \\[4pt] 13 & 18 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Somamos os elementos de A:
1 + 15 + 13 + 18 = 47.

Resposta

c) 47

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