Fix 4.2: Vamos calcular o limite lim x 1 (x-1)^2e^x-e aplicando L’Hospital duas vezes. Assim,
lim x 1 (x-1)^2e^x-e=lim x 1 2(x-1)e^x=lim x 1 2e^x=2e^2
Na realidade o limite é zero. Qual o erro?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1(x-1)^2e^x - e
usando a regra de L’Hospital duas vezes. O conte\u00fado aqui \u00e9 a aplica\u00e7\u00e3o correta da regra de L’Hospital, que s’o vale em formas indeterminadas do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty, e saber identificar quando parar.

Passo 2

Verificamos o tipo de indetermina\u00e7\u00e3o em xto1:
o numerador (x-1)^2to0 e o denominador e^x - e to e - e = 0.
Ent~ao temos uma forma tfrac00 e podemos aplicar L’Hospital uma vez.

Passo 3

Derivando numerador e denominador, obtemos:
limxto1(x-1)^2e^x - e =limxto12(x-1)e^x
Agora, ao aproximar xto1, o numerador 2(x-1)to0 e o denominador e^xto eneq0. Logo a forma não é mais indeterminada, é 0/e=0.

Passo 4

O erro do \u201cduas vezes\u201d \u00e9 achar que ainda h\u00e1 indetermina\u00e7\u00e3o e aplicar L’Hospital de novo. Mas como o limite j\u00e1 \u00e9 0 sobre n\u00e3o-zero, n\u00e3o se pode usar L’Hospital: n\u00e3o h\u00e1 indetermina\u00e7\u00e3o. Alm\u00e9m disso, quem tenta derivar de novo teria de avaliar
ddx[2(x-1)]g/ddx[e^x] =2e^xLongrightarrow 2e(em x=1),
e n\u00e3o tfrac2e^2 como foi escrito por engano.

Resposta

limxto1(x-1)^2e^x - e=0

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