5.10.11 A fórmula de integração de Euler-Maclaurin da Seção 5.9 fornece um modo para calcular a constante
de Euler-Mascheroni com alta precisão. Usando
na Equação (5.168b) (com intervalo
) e a definição de
da (Equação 5.28), obtemos
Usando aritmética de dupla precisão, calcule
para
Nota: D. E. Knuth, Constante de Euler até 1271 casas decimais. Math. Comput. 16: 275 (1962). Um cálculo ainda mais preciso aparece no Exercício 8.5.16.
Nota: D. E. Knuth, Constante de Euler até 1271 casas decimais. Math. Comput. 16: 275 (1962). Um cálculo ainda mais preciso aparece no Exercício 8.5.16.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a constante de Euler–Mascheroni
usando a fórmula de Euler–Maclaurin aplicada a
no intervalo
, e depois escolher um
grande (aqui
) e incluir termos até
para melhorar a precisão.
Passo 2
A expansão de Euler–Maclaurin para este caso é
onde
são os números de Bernoulli (
,
, ···).
Passo 3
Tomando
, primeiro calculamos a soma harmônica
Passo 4
Em seguida calculamos
Fazendo
obtemos
Passo 5
Para
só entra o termo com
:
Somando isso fica
Passo 6
Para
incluímos também o termo com
:
Esse é tão pequeno que mal altera o valor anterior em precisão dupla.
Passo 7
Somando todos os pedaços para
em aritmética de dupla precisão obtemos
o que, arredondando aos
dígitos, dá
.