5.10.11 A fórmula de integração de Euler-Maclaurin da Seção 5.9 fornece um modo para calcular a constante \gamma de Euler-Mascheroni com alta precisão. Usando f(x)=1 / x na Equação (5.168b) (com intervalo [1, n] ) e a definição de \gamma da (Equação 5.28), obtemos
\gamma=\sum_{s=1}^{n} s^{-1}-\ln n-\frac{1}{2 n}+\sum_{k=1}^{N} \frac{B_{2 k}}{(2 k) n^{2 k}}
Usando aritmética de dupla precisão, calcule \gamma para N=1,2, \ldots
Nota: D. E. Knuth, Constante de Euler até 1271 casas decimais. Math. Comput. 16: 275 (1962). Um cálculo ainda mais preciso aparece no Exercício 8.5.16.
\text { Resposta: Para } \begin{aligned} n & =1000, N=2 \\\ \gamma & =0,577215664901 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a constante de Euler–Mascheroni \gamma usando a fórmula de Euler–Maclaurin aplicada a f(x)=1/x no intervalo [1,n], e depois escolher um n grande (aqui n=1000) e incluir termos até k=N para melhorar a precisão.

Passo 2

A expansão de Euler–Maclaurin para este caso é
\gamma = \sum_{s=1}^{n} s^{-1} - \ln n - \frac{1}{2n} + \sum_{k=1}^{N} \frac{B_{2k}}{(2k)\,n^{2k}},
onde B_{2k} são os números de Bernoulli ( B_2=\frac{1}{6}, B_4=-\frac{1}{30}, ···).

Passo 3

Tomando n=1000, primeiro calculamos a soma harmônica
H_{1000}=\sum_{s=1}^{1000}\frac1s\approx 7,485470860550345.

Passo 4

Em seguida calculamos
\ln(1000)=6,907755278982137 \quad\text{e}\quad -\frac{1}{2\cdot1000}=-0,0005.
Fazendo H_{1000}-\ln(1000)-\tfrac1{2n} obtemos
7,485470860550345 - 6,907755278982137 - 0,0005 \approx 0,577215581568208.

Passo 5

Para N=1 só entra o termo com k=1:
\frac{B_{2}}{2\,n^{2}} =\frac{1/6}{2\cdot1000^{2}} =\frac1{12\cdot10^{6}} \approx 8,3333333\times10^{-8}.
Somando isso fica
\gamma_{N=1}\approx 0,577215581568208 + 0,000000083333333 \approx 0,577215664901541.

Passo 6

Para N=2 incluímos também o termo com k=2:
\frac{B_{4}}{4\,n^{4}} =\frac{-1/30}{4\cdot1000^{4}} =-\frac1{120\cdot10^{12}} \approx -8,3333333\times10^{-15}.
Esse é tão pequeno que mal altera o valor anterior em precisão dupla.

Passo 7

Somando todos os pedaços para N=2 em aritmética de dupla precisão obtemos
\gamma\approx 0,577215664901533,
o que, arredondando aos 12 dígitos, dá 0,577215664901.

Resposta

\gamma\approx 0,577215664901 (para n=1000 e N=2).

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