5.10.11 A fórmula de integração de Euler-Maclaurin da Seção 5.9 fornece um modo para calcular a constante gamma de Euler-Mascheroni com alta precisão. Usando f(x)=1 / x na Equação (5.168b) (com intervalo [1, n] ) e a definição de gamma da (Equação 5.28), obtemos
gamma=sums=1^n s^-1-ln n-12 n+sumk=1^N B2 k(2 k) n^2 k
Usando aritmética de dupla precisão, calcule gamma para N=1,2, ldots
Nota: D. E. Knuth, Constante de Euler até 1271 casas decimais. Math. Comput. 16: 275 (1962). Um cálculo ainda mais preciso aparece no Exercício 8.5.16.
Resposta: Para n & =1000, N=2 gamma & =0,577215664901

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a constante de Euler–Mascheroni usando a fórmula de Euler–Maclaurin aplicada a no intervalo , e depois escolher um grande (aqui ) e incluir termos até para melhorar a precisão.

Passo 2

A expansão de Euler–Maclaurin para este caso é
gamma = sums=1^n s^-1 - ln n - 12n + sumk=1^N B2k(2k),n^2k,
onde são os números de Bernoulli ( , , ···).

Passo 3

Tomando H1000=sums=1^10001sapprox 7,485470860550345 , primeiro calculamos a soma harmônica

Passo 4

Em seguida calculamos
ln(1000)=6,907755278982137 e -12cdot1000=-0,0005
Fazendo 7,485470860550345 - 6,907755278982137 - 0,0005 approx 0,577215581568208 obtemos

Passo 5

Para B22,n^2 =1/62cdot1000^2 =112cdot10^6 approx 8,3333333times10^-8 só entra o termo com gammaN=1approx 0,577215581568208 + 0,000000083333333 approx 0,577215664901541 :
Somando isso fica

Passo 6

Para B44,n^4 =-1/304cdot1000^4 =-1120cdot10^12 approx -8,3333333times10^-15 incluímos também o termo com :
Esse é tão pequeno que mal altera o valor anterior em precisão dupla.

Passo 7

Somando todos os pedaços para gammaapprox 0,577215664901533, em aritmética de dupla precisão obtemos
o que, arredondando aos dígitos, dá .

Resposta

(para e ).

Exercícios de Livros Relacionados