Os B_{2 n} são os números de Bernoulli (Seção 5.9). Mostre que a fórmula de Stirling é uma expansão assintótica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo inteiro N\ge1, a fórmula
\ln(x!)=\frac12\ln2\pi+\bigl(x+\tfrac12\bigr)\ln x -x \;-\sum_{n=1}^{N}\frac{B_{2n}}{2n(2n-1)}\,x^{1-2n}
é válida até um resto que é o\bigl(x^{1-2N}\bigr) quando x\to\infty. Em outras palavras, devemos usar o Fórmula de Euler–Maclaurin para transformar \sum_{k=1}^{x}\ln k numa integral mais correções de Bernoulli, e então mostrar que o resto tem ordem x^{1-2N}.
Passo 2
A Fórmula de Euler–Maclaurin, para uma função f com derivadas suficientes, diz: