Qual é a fórmula para integração por partes? De onde ela é derivada? Por que você pode querer usá-la?
4. Quando você aplica a fórmula da integração por partes, como escolhe
e
? Como você pode aplicar a integração por partes a uma integral da forma
?
4. Quando você aplica a fórmula da integração por partes, como escolhe
Passo 1
O enunciado pede (1) a fórmula da integração por partes, (2) sua derivação, (3) a motivação para usá-la, (4) como escolher
e
e (5) como aplicá-la a uma integral genérica
. Isso envolve entendimento da regra do produto de derivadas e do teorema fundamental do Cálculo.
Passo 2
A fórmula da integração por partes para integrais indefinidas é
onde
e
são funções de
,
é uma forma de escreveu-se
e
.
Para integrais definidas, entre e
, temos
Para integrais definidas, entre
Passo 3
Derivamos essa fórmula da regra do produto para derivadas:
Reescrevendo,
Agora integramos ambos os lados de
até
, isto é,
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
. Logo
Passo 4
Usamos integração por partes quando um dos fatores na integral é mais fácil de derivar (
) e o outro é fácil de integrar (
). Assim transformamos uma integral difícil em outra mais simples, às vezes gerando um termo que se repete e permitindo resolver por método de redução ou sistema.
Passo 5
Para escolher
e
costuma-se usar a regra mnemônica “LIATE” (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial):
– deve ser o termo que aparece primeiro nessa lista (mais fácil de derivar).
– é o resto do integrando, que deve ser fácil de integrar para obter
.
–
–
Passo 6
Para aplicar a fórmula a uma integral genérica
, note que ela pode ser escrita como
Duas escolhas típicas são:
– e
, daí
e
, o que leva a
–
– Ou
e
, o que recupera diretamente uma primitiva
:
A primeira via gera fórmulas de redução úteis; a segunda é apenas a definição de antiderivada.
Resposta
Fórmula:
Deriva-se da regra do produto
e do Teorema Fundamental do Cálculo.
Usa-se para transformar integrais difíceis em mais simples ou para construir recorrências.
Escolhe-se como o fator mais fácil de derivar (LIATE) e
como o que resta e é fácil de integrar.
Para escrevemos
, escolhemos
,
(ou
,
) e aplicamos a fórmula acima.
Usa-se para transformar integrais difíceis em mais simples ou para construir recorrências.
Escolhe-se
Para