Qual é a fórmula para integração por partes? De onde ela é derivada? Por que você pode querer usá-la?
4. Quando você aplica a fórmula da integração por partes, como escolhe u e d v ? Como você pode aplicar a integração por partes a uma integral da forma \int f(x) d x ?

Passo 1

O enunciado pede (1) a fórmula da integração por partes, (2) sua derivação, (3) a motivação para usá-la, (4) como escolher u e d v e (5) como aplicá-la a uma integral genérica \int f(x)\,dx. Isso envolve entendimento da regra do produto de derivadas e do teorema fundamental do Cálculo.

Passo 2

A fórmula da integração por partes para integrais indefinidas é
\int u\,d v = u\,v - \int v\,d u,
onde u e v são funções de x, d v é uma forma de escreveu-se v' (x)\,dx e d u = u'(x)\,dx.
Para integrais definidas, entre a e b, temos
\int_{a}^{b} u\,d v = \bigl[u\,v\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,d u.

Passo 3

Derivamos essa fórmula da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr) = u(x)\,v'(x) + u'(x)\,v(x).
Reescrevendo,
u(x)\,v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(u\,v\bigr) - u'(x)\,v(x).
Agora integramos ambos os lados de x até x, isto é,
\int u\,v' \,dx = \int \frac{d}{dx}(u\,v)\,dx - \int u'\,v\,dx.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, \int \frac{d}{dx}(u\,v)\,dx = u\,v. Logo
\int u\,d v = u\,v - \int v\,d u.

Passo 4

Usamos integração por partes quando um dos fatores na integral é mais fácil de derivar ( u) e o outro é fácil de integrar ( d v). Assim transformamos uma integral difícil em outra mais simples, às vezes gerando um termo que se repete e permitindo resolver por método de redução ou sistema.

Passo 5

Para escolher u e d v costuma-se usar a regra mnemônica “LIATE” (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial):
u deve ser o termo que aparece primeiro nessa lista (mais fácil de derivar).
d v é o resto do integrando, que deve ser fácil de integrar para obter v.

Passo 6

Para aplicar a fórmula a uma integral genérica \int f(x)\,dx, note que ela pode ser escrita como
\int 1\cdot f(x)\,dx.
Duas escolhas típicas são:
u=f(x) e d v = dx, daí v = x e d u = f'(x)\,dx, o que leva a
\int f(x)\,dx = x\,f(x) - \int x\,f'(x)\,dx.
– Ou u=1 e d v = f(x)\,dx, o que recupera diretamente uma primitiva v=F(x):
\int f(x)\,dx = F(x).
A primeira via gera fórmulas de redução úteis; a segunda é apenas a definição de antiderivada.

Resposta

Fórmula:
\int u\,d v = u\,v - \int v\,d u.
Deriva-se da regra do produto \frac{d}{dx}(u\,v)=u\,v'+u'\,v e do Teorema Fundamental do Cálculo.
Usa-se para transformar integrais difíceis em mais simples ou para construir recorrências.
Escolhe-se u como o fator mais fácil de derivar (LIATE) e d v como o que resta e é fácil de integrar.
Para \int f(x)\,dx escrevemos \int 1\cdot f(x)\,dx, escolhemos u=f(x), d v=dx (ou u=1, d v=f(x)\,dx) e aplicamos a fórmula acima.

Exercícios de Livros Relacionados