O que é uma função harmônica? E um conjugado harmônico?

Passo 1

O enunciado pergunta dois conceitos básicos de análise complexa e equações diferenciais parciais: o que é uma função harmônica e o que é um conjugado harmônico. Para responder, vamos recorrer à definição de Laplaciano em \mathbb{R}^2 e às condições de Cauchy-Riemann que caracterizam funções holomorfas.

Passo 2

Uma função u\colon \Omega\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} diz-se harmônica em \Omega se for duas vezes continuamente diferenciável e satisfizer a equação de Laplace:
\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0\quad\text{em }\Omega.
Isso significa que, em cada ponto de \Omega, a soma das segundas derivadas parciais de u em relação a x e y é zero. Geometricamente, funções harmônicas são médias-locais de si mesmas e aparecem como potenciais de campos conservativos.

Passo 3

Nas áreas simplesmente conexas, toda parte real (ou imaginária) de uma função holomorfa é harmônica. De fato, se f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) é holomorfa em \Omega, então u e v satisfazem as condições de Cauchy-Riemann e, em consequência,
\Delta u = 0 \quad\text{e}\quad \Delta v = 0.

Passo 4

Chamamos v\colon \Omega\to\mathbb{R} de conjugado harmônico de u se u+ i\,v for holomorfa em \Omega. Em termos de derivadas parciais, v deve satisfazer as condições de Cauchy-Riemann:
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -v_x
em toda \Omega. Nessas condições, v também é harmônica e está determinada por u até adição de uma constante.

Resposta

Uma função harmônica em \Omega\subset\mathbb{R}^2 é uma função u de classe C^2 que satisfaz a equação de Laplace \Delta u=0. Um conjugado harmônico de u é uma função v tal que u+ i\,v seja holomorfa em \Omega, ou seja, u e v satisfazem as condições de Cauchy-Riemann u_x=v_y e u_y=-v_x.

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