O que é uma função harmônica? E um conjugado harmônico?
Passo 1
O enunciado pergunta dois conceitos básicos de análise complexa e equações diferenciais parciais: o que é uma função harmônica e o que é um conjugado harmônico. Para responder, vamos recorrer à definição de Laplaciano em
e às condições de Cauchy-Riemann que caracterizam funções holomorfas.
Passo 2
Uma função
diz-se harmônica em
se for duas vezes continuamente diferenciável e satisfizer a equação de Laplace:
Isso significa que, em cada ponto de
, a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
é zero. Geometricamente, funções harmônicas são médias-locais de si mesmas e aparecem como potenciais de campos conservativos.
Passo 3
Nas áreas simplesmente conexas, toda parte real (ou imaginária) de uma função holomorfa é harmônica. De fato, se
é holomorfa em
, então
e
satisfazem as condições de Cauchy-Riemann e, em consequência,
Passo 4
Chamamos
de conjugado harmônico de
se
for holomorfa em
. Em termos de derivadas parciais,
deve satisfazer as condições de Cauchy-Riemann:
em toda
. Nessas condições,
também é harmônica e está determinada por
até adição de uma constante.
Resposta
Uma função harmônica em
é uma função
de classe
que satisfaz a equação de Laplace
. Um conjugado harmônico de
é uma função
tal que
seja holomorfa em
, ou seja,
e
satisfazem as condições de Cauchy-Riemann
e
.