(Fuvest-96) Considere o sistema de equaçòes lineares:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=-2 m \\\ x-y-2 z=2 m \\\\ 2 x+y-2 z=3 m+5 \end{array}\right.
a) Para cada valor de m, determine a solução ( \mathrm{x}_{\mathrm{m}}, \mathrm{y}_{\mathrm{m}}, \mathrm{z}_{\mathrm{m}} ) do sistema.
b) Determine todos os valores de m, reais ou complexos, para os quais o produto \mathrm{x}_{\mathrm{m}} \mathrm{y}_{\mathrm{m}} \mathrm{z}_{\mathrm{m}} é igual a 32 .
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear de três equações e três incógnitas x,y,z que depende do parâmetro m e pede:
Encontrar a solução \bigl(x_m,y_m,z_m\bigr) em função de m.
Determinar os valores de m, reais ou complexos, tais que
x_m\,y_m\,z_m = 32.
Para resolver a parte (a) vamos eliminar variáveis de forma sistemática; na parte (b) vamos calcular o produto e resolver a equação resultante.
Passo 2
Escrevendo as equações:
\begin{cases} x + y + z = -2m,\\\ x - y - 2z = 2m,\\\\ 2x + y - 2z = 3m + 5, \end{cases}
faremos combinações lineares para eliminar x. Subtraindo a primeira da segunda:
Das duas equações em y,z\):
\[\begin{cases} -2y - 3z = 4m,\\\\ -\,y - 4z = 7m + 5, \end{cases}
multiplicamos a segunda por 2 e subtraímos da primeira para achar z\]:
\[(-2y - 3z) - \bigl(-2y - 8z\bigr) = 4m - (14m +10) \quad\Longrightarrow\quad 5z = -10m - 10 \quad\Longrightarrow\quad z = -2m - 2.\]
Substituindo em \(-\,y - 4z = 7m + 5: