(Fuvest-96) Considere o sistema de equaçòes lineares:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=-2 m \\\ x-y-2 z=2 m \\\\ 2 x+y-2 z=3 m+5 \end{array}\right.
a) Para cada valor de m, determine a solução ( \mathrm{x}_{\mathrm{m}}, \mathrm{y}_{\mathrm{m}}, \mathrm{z}_{\mathrm{m}} ) do sistema.
b) Determine todos os valores de m, reais ou complexos, para os quais o produto \mathrm{x}_{\mathrm{m}} \mathrm{y}_{\mathrm{m}} \mathrm{z}_{\mathrm{m}} é igual a 32 .

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de três equações e três incógnitas x,y,z que depende do parâmetro m e pede:
  1. Encontrar a solução \bigl(x_m,y_m,z_m\bigr) em função de m.
  2. Determinar os valores de m, reais ou complexos, tais que
x_m\,y_m\,z_m = 32.
Para resolver a parte (a) vamos eliminar variáveis de forma sistemática; na parte (b) vamos calcular o produto e resolver a equação resultante.

Passo 2

Escrevendo as equações:
\begin{cases} x + y + z = -2m,\\\ x - y - 2z = 2m,\\\\ 2x + y - 2z = 3m + 5, \end{cases}
faremos combinações lineares para eliminar x. Subtraindo a primeira da segunda:
(x - y - 2z) - (x + y + z) = 2m - (-2m) \quad\Longrightarrow\quad -2y - 3z = 4m.
Subtraindo duas vezes a primeira da terceira:
(2x + y - 2z) - 2(x + y + z) = (3m+5) - 2(-2m) \quad\Longrightarrow\quad -\,y - 4z = 7m + 5.

Passo 3

Das duas equações em y,z\): \[\begin{cases} -2y - 3z = 4m,\\\\ -\,y - 4z = 7m + 5, \end{cases}
multiplicamos a segunda por 2 e subtraímos da primeira para achar z\]: \[(-2y - 3z) - \bigl(-2y - 8z\bigr) = 4m - (14m +10) \quad\Longrightarrow\quad 5z = -10m - 10 \quad\Longrightarrow\quad z = -2m - 2.\] Substituindo em \(-\,y - 4z = 7m + 5:
-\,y - 4(-2m -2) = 7m + 5 \quad\Longrightarrow\quad -\,y +8m +8 = 7m +5 \quad\Longrightarrow\quad y = m + 3.

Passo 4

Finalmente, da primeira equação x + y + z = -2m:
x + (m+3) +(-2m -2) = -2m \quad\Longrightarrow\quad x - m +1 = -2m \quad\Longrightarrow\quad x = -m -1.
Logo a solução geral é
x_m = -m -1,\quad y_m = m +3,\quad z_m = -2m -2.

Passo 5

Para a parte (b) computemos o produto
x_m\,y_m\,z_m =(-m-1)(m+3)(-2m-2).
Observe que -2m-2 = -2(m+1), daí
x_m\,y_m\,z_m = (-m-1)(m+3)\bigl(-2(m+1)\bigr) =2(m+1)^2(m+3).
Queremos
2(m+1)^2(m+3) = 32 \quad\Longrightarrow\quad (m+1)^2(m+3) = 16.
Expandindo,
(m+1)^2(m+3) = (m^2+2m+1)(m+3) = m^3 +5m^2 +7m +3,
a equação vira
m^3 +5m^2 +7m +3 -16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^3 +5m^2 +7m -13 = 0.
Testando m=1 verifica-se raiz, e o polinômio fatoriza em
(m-1)(m^2+6m+13) = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 1,\;m = -3 \pm 2i.

Resposta

a) \displaystyle x_m = -m -1,\quad y_m = m +3,\quad z_m = -2m -2.
b) \displaystyle m = 1,\;-3 + 2i,\;-3 - 2i.

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