(Fuvest-02) Dois triângulos congruentes, com lados coloridos, são indistinguiveis se podem ser sobrepostos de tal modo que as cores dos lados coincidentes sejam as mesmas. Dados dois triângulos equiláteros congruentes, cada um de seus lados é pintado com uma cor escolhida dentre duas possiveis, com igual probabilidade. A probabilidade de que esses triângulos sejam indistinguiveis é de:
a) 1 / 2
b) 3 / 4
c) 9 / 16
d) 5 / 16
e) 15 / 32

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois triângulos equiláteros congruentes. Cada lado de cada triângulo é pintado, com igual probabilidade, de uma de duas cores. Queremos a probabilidade de que os dois triângulos sejam indistinguíveis, isto é, que exista uma sobreposição (rotação ou reflexão) que faça coincidir as cores dos lados.

Passo 2

Para verificar indistinguibilidade usamos o grupo de simetrias do triângulo equilátero, o grupo diédrico D_3, de ordem 6. As simetrias são:
\;1 a identidade,
\;2 rotação de 120^\circ,
\;3 rotação de 240^\circ,
\;4,5,6 três reflexões.

Passo 3

Sejam as colorizações dos lados do primeiro e do segundo triângulo independentes e uniformes em 2^3=8 possíveis atribuições. Dado um arranjo fixo no primeiro triângulo, a probabilidade de o segundo cair em uma coloração equivalente (mesma órbita sob D_3) é
\frac{\bigl|\text{órbita do primeiro}\bigr|}{8}.ó
Logo a probabilidade buscada é a média, sobre as 8 colorações possíveis do primeiro triângulo, de \bigl|\text{órbita}\bigr|/8ó.

Passo 4

Classificamos as 8 colorações do primeiro triângulo segundo seu grupo de estabilização:
1. Colorações com todos os três lados da mesma cor. Há 2 dessas ( \text{RRR} ou \text{BBB}). Nesses casos todo D_3 fixa a coloração, ou seja o estabilizador tem ordem 6 e a órbita tem tamanho
\frac{|D_3|}{|\mathrm{Stab}|}=\frac{6}{6}=1.
2. Colorações com exatamente dois lados de uma cor e um lado de outra. Há \binom{3}{2}\times2=6 dessas. Aqui só uma reflexão que troca os dois lados iguais atrasa fixa, então |\mathrm{Stab}|=2 e
|\text{órbita}|=\frac{6}{2}=3.ó

Passo 5

Agora a probabilidade total é
\frac{1}{8}\sum_{\text{coloração do 1º}} \frac{|\text{órbita}|}{8} =\frac{1}{8}\Bigl(2\cdot\frac{1}{8}+6\cdot\frac{3}{8}\Bigr) =\frac{2+18}{64} =\frac{20}{64} =\frac{5}{16}.çãºó

Resposta

\displaystyle \tfrac{5}{16}

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