Se u é independente de \theta, então (5) se reduz a \nabla^{2} u=u_{r r}+u_{r} / r. Deduza esta expressão diretamente do laplaciano em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se u depende só de r=\sqrt{x^2+y^2}, então
\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
se reduz a
u_{rr}+\frac{1}{r}\,u_r.
Vamos usar regra da cadeia, expressar \partial u/\partial x e \partial u/\partial y em termos de u_r e depois calcular as segundas derivadas.

Passo 2

Pela regra da cadeia, como u=u(r), temos
\frac{\partial u}{\partial x} = u_r \cdot \frac{\partial r}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = u_r \cdot \frac{\partial r}{\partial y}.

Passo 3

Como r=\sqrt{x^2+y^2},
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}, \quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}.

Passo 4

Agora calculamos
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(u_r\frac{x}{r}\Bigr) = u_{rr}\,\frac{x}{r}\,\frac{\partial r}{\partial x} + u_r\,\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r}\Bigr).
Substituindo \partial r/\partial x=x/r e derivando \tfrac{x}{r} por x, obtemos
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = u_{rr}\,\frac{x^2}{r^2} + u_r\,\frac{r^2 - x^2}{r^3}.

Passo 5

De modo análogo,
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u_{rr}\,\frac{y^2}{r^2} + u_r\,\frac{r^2 - y^2}{r^3}.

Passo 6

Somando as duas expressões:
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u_{rr}\,\frac{x^2+y^2}{r^2} + u_r\,\frac{2r^2 - (x^2+y^2)}{r^3}.
Como x^2+y^2=r^2, isso vira
u_{rr} + u_r\,\frac{1}{r}.

Resposta

\nabla^2 u = u_{rr} + \frac{1}{r}\,u_r.

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