Indique quais frases a seguir são verdadeiras.
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de afirmações sobre as inclusões entre os conjuntos dos números naturais
, inteiros
, racionais
, reais
e irracionais. Para isso, vamos usar o fato de que
e que o conjunto dos irracionais é
.
Passo 2
a) “Todo número real é racional.”
Como existem números irracionais (por exemplo ), nem todo real pertence a
.
Portanto, a) é falsa.
Como existem números irracionais (por exemplo
Portanto, a) é falsa.
Passo 3
b) “Todo número natural é real.”
Os naturais estão contidos nos inteiros, que estão contidos nos racionais, que por sua vez estão contidos nos reais. Logo .
Portanto, b) é verdadeira.
Os naturais estão contidos nos inteiros, que estão contidos nos racionais, que por sua vez estão contidos nos reais. Logo
Portanto, b) é verdadeira.
Passo 4
c) “Todo número inteiro é natural.”
Os inteiros incluem negativos, enquanto os naturais geralmente são não-negativos. Há inteiros que não são naturais.
Portanto, c) é falsa.
Os inteiros incluem negativos, enquanto os naturais geralmente são não-negativos. Há inteiros que não são naturais.
Portanto, c) é falsa.
Passo 5
d) “Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.”
Em geral um racional tem
e
. Se
for negativo, não é natural.
Portanto, d) é falsa.
Em geral um racional
Portanto, d) é falsa.
Passo 6
e) “Todo número irracional é real.”
Por definição, o conjunto dos irracionais é um subconjunto de .
Portanto, e) é verdadeira.
Por definição, o conjunto dos irracionais é um subconjunto de
Portanto, e) é verdadeira.
Passo 7
f) “Todo número natural é racional.”
Como , cada natural pode ser escrito como
.
Portanto, f) é verdadeira.
Como
Portanto, f) é verdadeira.
Resposta
(b), (e) e (f)