Indique quais frases a seguir são verdadeiras.
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de afirmações sobre as inclusões entre os conjuntos dos números naturais N, inteiros Z, racionais Q, reais R e irracionais. Para isso, vamos usar o fato de que
NsubsetZsubsetQsubsetR,
e que o conjunto dos irracionais é RsetminusQ.

Passo 2

a) “Todo número real é racional.”
Como existem números irracionais (por exemplo raiz2), nem todo real pertence a Q.
Portanto, a) é falsa.

Passo 3

b) “Todo número natural é real.”
Os naturais estão contidos nos inteiros, que estão contidos nos racionais, que por sua vez estão contidos nos reais. Logo NsubsetR.
Portanto, b) é verdadeira.

Passo 4

c) “Todo número inteiro é natural.”
Os inteiros incluem negativos, enquanto os naturais geralmente são não-negativos. Há inteiros que não são naturais.
Portanto, c) é falsa.

Passo 5

d) “Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.”
Em geral um racional p/q tem pinZ e qinZsetminus0. Se p for negativo, não é natural.
Portanto, d) é falsa.

Passo 6

e) “Todo número irracional é real.”
Por definição, o conjunto dos irracionais é um subconjunto de R.
Portanto, e) é verdadeira.

Passo 7

f) “Todo número natural é racional.”
Como NsubsetQ, cada natural pode ser escrito como tfracn1.
Portanto, f) é verdadeira.

Resposta

(b), (e) e (f)

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