(Insper-07) Um banco opera em 20 estados brasileiros, com pelo menos 120 agências em cada estado, cada uma com pelo menos 1.000 clientes. Cada cliente deve ter uma senha de acesso, composta por seis dígitos numéricos. 'E correto afirmar que
a) é possível que todos os clientes tenham senhas de acesso distintas.
b) pelo menos três clientes têm senhas iguais.
c) no máximo dois clientes têm senhas iguais.
d) todas as possíveis senhas jả foram usadas por pelo menos um cliente.
e) num mesmo estado. năo podem existir clientes com a mesma senha.

Passo 1

O enunciado informa que o banco opera em 20 estados, cada estado com pelo menos 120 agências, cada agência com pelo menos 1000 clientes, e que cada cliente tem uma senha de acesso formada por seis dígitos numéricos. O conteúdo aqui é o Princípio da Casa dos Pombos, que nos ajuda a garantir repetições quando o número de “pombos” (clientes) excede o número de “caixas” (senhas possíveis).

Passo 2

Calcular o número mínimo de clientes:
20 \times 120 \times 1000 = 2\,400\,000.
Determinar o número de senhas possíveis: cada senha tem 6 dígitos de 0 a 9, portanto
10^6 = 1\,000\,000
senhas distintas.

Passo 3

Pelo Princípio da Casa dos Pombos, se temos N clientes e M senhas, existe ao menos uma senha atribuída a \bigl\lceil N/M\bigr\rceil clientes. Aqui
\left\lceil \frac{2\,400\,000}{1\,000\,000} \right\rceil = \lceil 2,4\rceil = 3.
Logo, pelo menos uma senha está atribuída a três clientes.

Passo 4

Isso corresponde exatamente à alternativa que diz “pelo menos três clientes têm senhas iguais”.

Resposta

b) pelo menos três clientes têm senhas iguais.

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