(Insper-01) Um determinado sistema de segurança funciona com computadores que operam independentemente onde cada computador tem uma probabilidade p de falthar ( 0 \leq \mathrm{p} \leq 1 ). Um sistema de segurança é mais eficiente sc a maioria de seus computadores funciona. Para que valores de p um sistema de segurança com 3 computadores é mais eficiente que um sistema de segurança com 5 computadores?
a) p>1 / 2
b) p>1 / 3
c) p>1 / 4
d) p>1 / 5
e) p>1 / 6

Passo 1

O enunciado trata de comparar a eficiência de dois sistemas de segurança: um com 3 computadores e outro com 5 computadores. Cada computador falha com probabilidade p (e funciona com probabilidade q = 1 - p), de forma independente, e um sistema é considerado eficiente se a maioria dos seus computadores funcionar. Precisamos então calcular
P_3 = \Pr(\text{sucesso no sistema de 3 computadores})
e
P_5 = \Pr(\text{sucesso no sistema de 5 computadores})
e achar para quais valores de p vale P_3 > P_5.

Passo 2

Calculemos a probabilidade de sucesso em cada caso:
Para 3 computadores a maioria corresponde a 2 ou 3 funcionando, logo
P_3 = \binom{3}{2}q^2p + \binom{3}{3}q^3 = 3q^2p + q^3.
Para 5 computadores a maioria corresponde a 3, 4 ou 5 funcionando, então
P_5 = \binom{5}{3}q^3p^2 + \binom{5}{4}q^4p + \binom{5}{5}q^5 = 10\,q^3p^2 + 5\,q^4p + q^5.

Passo 3

Formemos a diferença
\Delta = P_3 - P_5 = \bigl(3q^2p + q^3\bigr) - \bigl(10q^3p^2 + 5q^4p + q^5\bigr).
Fatorando q=(1-p) de modo conveniente, encontra-se
\Delta = 3\,p^2\,(2p - 1)\,(1-p)^2.
Os fatores 3, p^2 e (1-p)^2 são não negativos para 0\le p\le1, então o sinal de \Delta fica definido pelo fator (2p - 1).

Passo 4

Para que \Delta>0 (i.e.\ P_3 > P_5) precisamos de
2p - 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad p > \tfrac{1}{2}.

Resposta

(a) p>1/2

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