(Insper-05) Numa empresa hả 4 diretores. Cada projeto realizado nesta empresa deve ser comandado por uma comissão formada por dois diretores. Se 7 projetos estiverem programados para o próximo ano, então
a) todos os diretores participarão da comissão de algum projeto.
b) pelo menos um diretor participará das comissòes de 4 projetos.
c) dois diretores irão participar das comissòes de 3 projetos e os outros dois irão participar das comissões de 4 projetos.
d) pelo menos um projeto terá uma comissão de 3 diretores.
e) nenhum diretor deverá participar das comissões de mais de 4 projetos.

Passo 1

O enunciado diz que há 4 diretores e 7 projetos; cada projeto exige uma comissão de exatamente 2 diretores. Vamos tratar de quantas vezes cada diretor “participa” de uma comissão e usar contagem e o Princípio da Casa dos Pombos para chegar à conclusão.

Passo 2

Seja x_i o número de comissões em que o diretor i participa, para i=1,2,3,4. Como cada um dos 7 projetos tem 2 diretores, o total de participações é
\sum_{i=1}^{4} x_i \;=\; 7 \times 2 \;=\; 14.

Passo 3

Pelo Princípio da Casa dos Pombos, distribuindo 14 “participações” em 4 diretores, em alguma caixa (diretor) teremos pelo menos
\bigl\lceil\tfrac{14}{4}\bigr\rceil \;=\; \lceil 3{,}5\rceil \;=\; 4
participações. Ou seja, existe ao menos um diretor com x_i\ge4.

Passo 4

A alternativa que afirma exatamente isso é a letra (b). As demais não são necessariamente verdadeiras em todo arranjo:
  • (a) falha por exemplo se só dois diretores formarem todas as comissões.
  • (c), (d) e (e) também não são obrigatórias em toda distribuição de comissões.

Resposta

b) pelo menos um diretor participará das comissões de 4 projetos.

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