(Mackenzie-17) Considerando men raizes da equação \left|\begin{array}{ccc}2^{\prime} & 8^{\prime} & 0 \\\ \log _{2} x & \log _{2} x^{2} & 0 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|= 0 , onde x>0, então m+n é igual a a) 2 / 3 b) 3 / 4 c) 3 / 2 d) 4 / 3 Passo 1O enunciado dá a equação \begin{vmatrix} 2^x & 8^x & 0\\\ \log_{2}x & \log_{2}(x^2) & 0\\\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} =0, com x>0, e pede a soma m+n, onde m e n são as raízes dessa equação. Vamos usar propriedades de determinantes, exponenciais e logaritmos. Passo 2Expandindo o determinante pela terceira coluna (que tem dois zeros) obtemos \det = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2^x & 8^x\\\ \log_{2}x & \log_{2}(x^2) \end{vmatrix} =0. Como o fator 3 não anula a equação, ficamos com o determinante 2\times2. Passo 3Escrevendo o 2\times2, temos 2^x\cdot \log_{2}(x^2)\;-\;8^x\cdot \log_{2}x \;=\;0. Como \log_{2}(x^2)=2\log_{2}x, substituímos para simplificar. Passo 4A equação fica 2^x\cdot\bigl(2\log_{2}x\bigr)-8^x\cdot\log_{2}x=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\log_{2}x\bigr)\,\bigl(2\cdot2^x-8^x\bigr)=0. Passo 5Igualando cada fator a zero: \log_{2}x=0 \Longrightarrow x=1. 2\cdot2^x=8^x. Como 8^x=(2^3)^x=2^{3x} e 2\cdot2^x=2^{x+1}, vem 2^{x+1}=2^{3x} \quad\Longrightarrow\quad x+1=3x \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12. Portanto, as raízes são m=1 e n=\tfrac12. Passo 6A soma das raízes é m+n = 1 + \tfrac12 = \tfrac32. Resposta \displaystyle \tfrac32 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 2Ver Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados(Mackenzie-16) Se f(\operatorname{sen} x)=\operatorname{sen} 3 x, para todo x \in I R e A(y), para y \in I R, é a matriz 3 \times 3, A(y)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & f\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) & 1 \\\ f\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) & y & f\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) \\\ \frac{1}{2} & f\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) & 1 \end{array}\right], o valor de y que satisfaz a equação \operatorname{det}(\mathrm{A}(\mathrm{y}))=2 é a) I b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Ver TambémVer Livro Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição