(Mackenzie-17) Considerando men raizes da equação \left|\begin{array}{ccc}2^{\prime} & 8^{\prime} & 0 \\\ \log _{2} x & \log _{2} x^{2} & 0 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|=
0 , onde x>0, então m+n é igual a
a) 2 / 3
b) 3 / 4
c) 3 / 2
d) 4 / 3

Passo 1

O enunciado dá a equação
\begin{vmatrix} 2^x & 8^x & 0\\\ \log_{2}x & \log_{2}(x^2) & 0\\\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} =0,
com x>0, e pede a soma m+n, onde m e n são as raízes dessa equação. Vamos usar propriedades de determinantes, exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Expandindo o determinante pela terceira coluna (que tem dois zeros) obtemos
\det = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2^x & 8^x\\\ \log_{2}x & \log_{2}(x^2) \end{vmatrix} =0.
Como o fator 3 não anula a equação, ficamos com o determinante 2\times2.

Passo 3

Escrevendo o 2\times2, temos
2^x\cdot \log_{2}(x^2)\;-\;8^x\cdot \log_{2}x \;=\;0.
Como \log_{2}(x^2)=2\log_{2}x, substituímos para simplificar.

Passo 4

A equação fica
2^x\cdot\bigl(2\log_{2}x\bigr)-8^x\cdot\log_{2}x=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\log_{2}x\bigr)\,\bigl(2\cdot2^x-8^x\bigr)=0.

Passo 5

Igualando cada fator a zero:
  1. \log_{2}x=0 \Longrightarrow x=1.
  2. 2\cdot2^x=8^x. Como 8^x=(2^3)^x=2^{3x} e 2\cdot2^x=2^{x+1}, vem
    2^{x+1}=2^{3x} \quad\Longrightarrow\quad x+1=3x \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Portanto, as raízes são m=1 e n=\tfrac12.

Passo 6

A soma das raízes é
m+n = 1 + \tfrac12 = \tfrac32.

Resposta

\displaystyle \tfrac32
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