Se n \in \mathbb{N}, define-se sucessor de n por n^{*}=n+1. Prove que ( m, n \in \mathbb{N} sempre):
1 não ć sucessor de nenhum número natural.

Passo 1

O enunciado trabalha com o conjunto dos naturais \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} e define o sucessor de n como
n^* = n+1.
Queremos provar que não existe m\in\mathbb{N} tal que m^*=1, isto é, que não há m com
m+1=1.
O conteúdo utilizado será a simples resolução dessa equação e o fato de que 0\notin\mathbb{N}.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista m\in\mathbb{N} tal que
m^* = 1.
Pela definição de sucessor, isso significa
m + 1 = 1.
Resolvendo essa equação, obtemos
m = 1-1 = 0.

Passo 3

Chegamos a m=0. Mas por hipótese \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} não contém o elemento 0. Logo m=0 não pertence a \mathbb{N}, o que contradiz a suposição de que m\in\mathbb{N}.

Resposta

Portanto, não existe m\in\mathbb{N} tal que m^*=1. Em outras palavras, 1 não é sucessor de nenhum número natural.

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