(UF-PR) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e I é a matriz identidade de mesma ordem, pode-se mostrar que, para cada n natural, existem números reais alpha e beta tais que A^n=alpha A+beta I.
Dada a matriz:
A=[ll2 & 3 0 & 1]
a) Encontre alpha e beta tais que A^2=alpha A+beta I.
b) Multiplicando a expressão do item anterior pela matriz inversa A^-1 obtém-se a expressão A=alpha I+beta A^-1. Use essa informação para calcular a matriz A^-1.

Passo 1

O enunciado pede no item (a) encontrar escalares alpha e beta tais que
A^2 = alpha A + beta I,
onde
A = 2 & 3 [4pt]0 & 1,
e I é a identidade 2times2. No item (b) vamos multiplicar essa relação por A^-1 para obter
A = alpha I + beta A^-1
e daí resolver para A^-1. Precisaremos calcular A^2, igualar componentes para achar alpha,beta e depois fazer manipulação algébrica de matrizes.]

Passo 2

Calculemos
A^2 = A cdot A = 2 & 3 [4pt]0 & 1 2 & 3 [4pt]0 & 1 = 2cdot2 + 3cdot0 & 2cdot3 + 3cdot1 [4pt]0cdot2 + 1cdot0 & 0cdot3 + 1cdot1 = 4 & 9 [4pt]0 & 1 ]

Passo 3

Queremos alpha,beta tais que
4 & 9 [4pt]0 & 1 = alpha 2 & 3 [4pt]0 & 1 + beta 1 & 0 [4pt]0 & 1 = 2alpha + beta & 3alpha [4pt]0 & alpha + beta
Igualando entradas:
3alpha = 9 implies alpha = 3,
2alpha + beta = 4 implies beta = 4 - 2cdot3 = -2
E confira que alpha + beta = 3 - 2 = 1 coincide com o canto inferior direito.]

Passo 4

Da relação
A^2 = 3A - 2I
multiplicamos ambos os lados por A^-1 (direita ou esquerda, pois é quadrada) e obtemos
A = 3I - 2A^-1 Longrightarrow A^-1 = -tfrac12,(A - 3I)

Passo 5

Compute A - 3I:
A - 3I = 2 & 3 [4pt]0 & 1 - 3 & 0 [4pt]0 & 3 = -1 & 3 [4pt]0 & -2,
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A^-1 = -tfrac12 -1 & 3 [4pt]0 & -2 = tfrac12 & -tfrac32 [4pt]0 & 1 ]

Resposta

a) alpha = 3,; beta = -2.
b) A^-1 = tfrac12 & -tfrac32 [4pt]0 & 1]

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