(ITA-SP) Considerando que x1, x2, x3, x4 e x5 são termos consecutivos de uma progressão aritmética (P. A.) de razão r e que det(A)-4 det(B)=1, sendo A e B matrizes dadas por A=(lll1 & x1 & x1^2 1 & x3 & x3^2 1 & x5 & x5^2) e B=(lll1 & x1 & x1^2 1 & x2 & x2^2 1 & x3 & x3^2), calcule a razão da referida P.A.

Passo 1

O enunciado dá cinco termos consecutivos de uma P.A. de razão r, ou seja
xk=x1+(k-1)r, k=1,2,3,4,5,
e pede r sabendo que
det(A)-4,det(B)=1,
onde
A= 1 & x1 & x1^2 1 & x3 & x3^2 1 & x5 & x5^2 , B= 1 & x1 & x1^2 1 & x2 & x2^2 1 & x3 & x3^2
O conteúdo principal é usar a fórmula de Vandermonde para determinantes de matrizes do tipo l(1,x,x^2r).

Passo 2

Para três valores distintos a<b<c, a matriz
1 & a & a^2 1 & b & b^2 1 & c & c^2
tem determinante dado por
det = (b-a),(c-a),(c-b)

Passo 3

Aplicando ao caso de A e B, obtemos
det(A) = (x3-x1)(x5-x1)(x5-x3),
det(B) = (x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)

Passo 4

Como é P.A. de razão r, temos
x2-x1=r, x3-x1=2r, x5-x1=4r, x5-x3=2r, x3-x2=r
Logo
det(A)= (2r),(4r),(2r)=16r^3, det(B)= (r),(2r),(r)=2r^3

Passo 5

Substituindo em det(A)-4,det(B)=1, vem
16r^3-4cdot(2r^3)=1 Longrightarrow 16r^3-8r^3=1 Longrightarrow 8r^3=1 Longrightarrow r^3=tfrac18 Longrightarrow r=tfrac12

Resposta

r=tfrac12

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