Como mencionado no texto, a notação \exists!x P(x) refere-se a
“Existe um único x para que P(x) seja verdadeira.”
Se o domínio forem todos os números inteiros, quais serão os valores-verdade das proposições abaixo?
\exists!x\left(x^{2}=1\right)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a proposição
\exists!x\,(x^{2}=1)
considerando o domínio de todos os inteiros. Aqui usamos o conceito de “existe único”: isso significa que devemos encontrar exatamente um inteiro x que satisfaça a equação x^{2}=1.

Passo 2

Resolvendo a equação em \mathbb{Z}:
x^{2}=1
Temos as soluções
x = 1 \quad\text{e}\quad x = -1
pois (1)^{2}=1 e (-1)^{2}=1.

Passo 3

Como há duas soluções distintas x=1 e x=-1, não existe um único inteiro que verifique x^{2}=1. Logo, a proposição “existe exatamente um x tal que x^{2}=1” é falsa.

Resposta

Falso.

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