Qual o menor número natural que admite 15 divisores? E o menor que admite 20 divisores?

Passo 1

O enunciado pede dois valores:
  • o menor natural n tal que tau(n)=15,
  • o menor natural m tal que tau(m)=20.
    Aqui tau(k) é a função número de divisores, e se
k = p1^e1p2^e2cdots pr^er,
então
tau(k) = (e1+1)(e2+1)cdots(er+1)
Vamos usar essa fórmula e analisar as fatorações de 15 e de 20.

Passo 2

Para tau(n)=15 escrevemos
15 = 15, 15 = 5cdot3
Isto gera dois casos de expoentes:
1. e1+1=15, ou seja n=p^14.
2. e1+1=5,;e2+1=3, ou seja n=p1^4p2^2.

Passo 3

Calculamos o menor n em cada caso usando os menores primos:
1. n=2^14=16384.
2.
  • Se n=2^4cdot3^2=16cdot9=144.
  • Se inverter expoentes: n=2^2cdot3^4=4cdot81=324.
O menor dentre 16384,144,324 é 144. Logo o menor n com 15 divisores é 144.

Passo 4

Para tau(m)=20 escrevemos
20 = 20, 20 = 10cdot2, 20 = 5cdot4, 20=5cdot2cdot2
Isto gera estes casos de expoentes:
  • (e1+1)=20 Rightarrow (19),
  • (e1+1,e2+1)=(10,2) Rightarrow (9,1),
  • (e1+1,e2+1)=(5,4) Rightarrow (4,3),
  • (e1+1,e2+1,e3+1)=(5,2,2) Rightarrow (4,1,1).

Passo 5

Calculamos o menor m em cada configuração:
1. m=2^19=524288.
2. m=2^9cdot3=512cdot3=1536.
3. m=2^4cdot3^3=16cdot27=432.
4. m=2^4cdot3cdot5=16cdot15=240.
O menor dentre 524288,1536,432,240 é 240. Logo o menor m com 20 divisores é 240.

Resposta

Menor que admite 15 divisores: 144.
Menor que admite 20 divisores: 240.

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