(Unicamp-88) Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm períodos de revolução em torno do Sol de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltern a ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontravam no momento da observação?

Passo 1

O enunciado diz que os períodos de revolução de Júpiter, Saturno e Urano em torno do Sol são, respectivamente, 12, 30 e 84 anos, e pede o tempo mínimo para que eles voltem a ocupar simultaneamente as posições iniciais. Isso equivale a calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) de 12, 30 e 84.

Passo 2

Fatoramos cada período em números primos:
12 = 2^2 cdot 3, 30 = 2 cdot 3 cdot 5, 84 = 2^2 cdot 3 cdot 7

Passo 3

Para obter o MMC, tomamos cada primo com a maior potência em que aparece:
  • maior potência de 2 é 2^2,
  • maior potência de 3 é 3^1,
  • aparece 5^1 e 7^1.
Logo,
MMC = 2^2 cdot 3 cdot 5 cdot 7

Passo 4

Calculando:
2^2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 = 4 cdot 3 cdot 5 cdot 7 = 12 cdot 35 = 420

Resposta

O tempo decorrido será de 420 anos.

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