Mostre que
2^{10 n}=(1,024)^{\mathrm{n}} 10^{3 n} .
[Essa igualdade leva à aproximação 2^{10 n} \approx 10^{3 n}.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade envolvendo potências de base 2 e base 10, ou seja, provar que
2^{10n} \;=\;(1{,}024)^{n}\,10^{3n}.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de potência de potência e manipulação de números em forma decimal.

Passo 2

Usamos a propriedade de potência que diz que
a^{bc} = \bigl(a^b\bigr)^c.
Aplicando com a=2, b=10 e c=n, obtemos
2^{10n} = \bigl(2^{10}\bigr)^{n}.

Passo 3

Calculemos 2^{10}. Sabemos que
2^{10} = 1024.

Passo 4

Escrevemos 1024 em notação decimal separando a parte inteira de milhar:
1024 = 1{,}024 \times 10^{3},
pois 10^{3}=1000 e 1{,}024 \times 1000 = 1024.

Passo 5

Substituindo essa expressão em \bigl(2^{10}\bigr)^{n}, temos
2^{10n} = \bigl(1024\bigr)^{n} = \bigl(1{,}024\times 10^{3}\bigr)^{n} = (1{,}024)^{n}\,(10^{3})^{n} = (1{,}024)^{n}\,10^{3n}.

Resposta

2^{10n} = (1{,}024)^{n}\,10^{3n},
e como 1{,}024\approx1, segue a aproximação
2^{10n}\approx10^{3n}.

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