Mostre que 937 é um inverso de 13 módulo 2436.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 937 é o inverso multiplicativo de 13 no anel \mathbb{Z}_{2436}, ou seja, que
13 \cdot 937 \equiv 1 \pmod{2436}.
Para isso, precisamos (1) verificar que \gcd(13,2436)=1 (condição de existência do inverso) e (2) confirmar a congruência indicada.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para calcular \gcd(13,2436). Seguem as divisões sucessivas:
2436 = 13 \times 187 + 5
13 = 5 \times 2 + 3
5 = 3 \times 1 + 2
3 = 2 \times 1 + 1
2 = 1 \times 2 + 0
Como o último resto não-nulo é 1, temos \gcd(13,2436)=1. Logo, o inverso de 13 modulo 2436 existe.

Passo 3

Agora calculamos diretamente o produto 13 \times 937:
13 \times 937 = 12181.
Em seguida, dividimos 12181 por 2436:
12181 = 2436 \times 5 + 1.
Da última igualdade, obtemos
13 \times 937 = 2436 \times 5 + 1 \;\Longrightarrow\; 13 \times 937 \equiv 1 \pmod{2436}.

Passo 4

Como \gcd(13,2436)=1 e de fato 13\cdot937\equiv1\pmod{2436}, concluímos que 937 é o inverso de 13 módulo 2436.

Resposta

937 é inverso de 13 módulo 2436, pois 13\cdot937\equiv1\pmod{2436}.

Exercícios de Livros Relacionados