a) Mostre que (1 \cdot 1)+(\overline{0 \cdot 1}+0)=1.
b) Traduza a equação da parte (a) em uma equivalência proposicional, trocando cada 0 por um \mathbf{F}, cada 1 por um \mathbf{V}, cada soma booleana por uma disjunção, cada produto booleano por uma conjunção, cada complementação por uma negação e os sinais de igual por um sinal de equivalência proposicional.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão booleana
(1 \cdot 1) + \bigl(\overline{0 \cdot 1} + 0\bigr)
usando álgebra booleana, e depois traduzir essa igualdade para uma equivalência proposicional trocando 0 por \mathbf{F}, 1 por \mathbf{V}, soma booleana por disjunção, produto booleano por conjunção, complementação por negação e igualdade por equivalência.

Passo 2

Avaliar 1 \cdot 1. Na álgebra booleana, 1 é elemento neutro da conjunção, logo
1 \cdot 1 = 1.

Passo 3

Avaliar 0 \cdot 1. Como 0 é elemento absorvente da conjunção,
0 \cdot 1 = 0.
Então a complementação é
\overline{0} = 1,
e somando com 0:
\overline{0 \cdot 1} + 0 = 1 + 0 = 1.

Passo 4

Agora a soma completa:
(1 \cdot 1) + \bigl(\overline{0 \cdot 1} + 0\bigr) = 1 + 1 = 1.
Logo a expressão simplifica para 1.

Passo 5

Para traduzir em equivalência proposicional, fazemos as substituições 1\mapsto\mathbf{V}, 0\mapsto\mathbf{F}, \cdot\mapsto\land, +\mapsto\lor, \overline{\bullet}\mapsto\neg(\bullet), =\mapsto\leftrightarrow.

Resposta

(a) 1.
(b) (\mathbf{V}\land\mathbf{V})\lor\bigl(\neg(\mathbf{F}\land\mathbf{V})\lor\mathbf{F}\bigr)\leftrightarrow\mathbf{V}.

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