*45. Mostre que n círculos dividem o plano em n^{2}-n+2 regiões se para cada dois círculos eles se interceptam exatamente em dois pontos e se não houver três círculos com pontos em comum.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados n círculos em posição geral (cada par de círculos intercepta-se em exatamente dois pontos e não há três círculos concorrendo num mesmo ponto), o número de regiões em que eles dividem o plano é
n^2 - n + 2.
O conteúdo usado será contagem de regiões por adição de curvas e indução.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. Um único círculo divide o plano em duas regiões (interior e exterior), de modo que
f(1) = 2 = 1^2 - 1 + 2.

Passo 3

Suponha que para k-1 círculos em posição geral o número de regiões seja
f(k-1) = (k-1)^2 - (k-1) + 2.
Ao acrescentar o k-ésimo círculo, ele cortará cada um dos k-1 círculos anteriores exatamente em dois pontos, totalizando
2\,(k-1)
pontos de interseção sobre ele.

Passo 4

Esses 2\,(k-1) pontos dividem o k-ésimo círculo em 2(k-1) arcos. Cada arco entra em uma região já existente e a divide em duas, aumentando o número de regiões em exatamente uma unidade por arco. Logo, o acréscimo de regiões é
2\,(k-1),
e obtemos a recorrência
f(k) \;=\; f(k-1) \;+\; 2\,(k-1).

Passo 5

Para terminar, somamos a recorrência de k=2 até k=n:
f(n) \;=\; f(1) + \sum_{k=2}^{n}2\,(k-1) = 2 + 2\sum_{j=1}^{n-1}j = 2 + 2\cdot\frac{(n-1)n}{2} = n^2 - n + 2.

Resposta

O número de regiões formadas por n círculos em posição geral é
n^2 - n + 2.

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