*45. Mostre que
círculos dividem o plano em
regiões se para cada dois círculos eles se interceptam exatamente em dois pontos e se não houver três círculos com pontos em comum.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
círculos em posição geral (cada par de círculos intercepta-se em exatamente dois pontos e não há três círculos concorrendo num mesmo ponto), o número de regiões em que eles dividem o plano é
O conteúdo usado será contagem de regiões por adição de curvas e indução.
Passo 2
Verificamos o caso base
. Um único círculo divide o plano em duas regiões (interior e exterior), de modo que
Passo 3
Suponha que para
círculos em posição geral o número de regiões seja
Ao acrescentar o
-ésimo círculo, ele cortará cada um dos
círculos anteriores exatamente em dois pontos, totalizando
pontos de interseção sobre ele.
Passo 4
Esses
pontos dividem o
-ésimo círculo em
arcos. Cada arco entra em uma região já existente e a divide em duas, aumentando o número de regiões em exatamente uma unidade por arco. Logo, o acréscimo de regiões é
e obtemos a recorrência
Passo 5
Para terminar, somamos a recorrência de
até
:
Resposta
O número de regiões formadas por
círculos em posição geral é