*22. Use a indução matemática para mostrar que o produto de quaisquer
números inteiros positivos consecutivos é divisivel por
. [Dica: Use a identidade
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que o produto de quaisquer
números inteiros positivos consecutivos
é divisível por
.
O conteúdo usado será indução dupla: indução em e, para cada
fixo, indução em
. Também usaremos a identidade sugerida
O conteúdo usado será indução dupla: indução em
Passo 2
Base da indução em
: para
o produto de um único inteiro
é
, e
divide
. Logo, a propriedade vale para
e todo
.
Passo 3
Passo indutivo em
: suponha que, para certo
, para todo
vale
Vamos provar que então, para
, para todo
,
Passo 4
Base da indução em
(para
fixo): para
temos
Passo 5
Passo indutivo em
: suponha que para um dado
é inteiro. Pela hipótese de indução em
, também
é inteiro. Usando a identidade dada,
que é soma de dois inteiros e portanto inteiro. Assim concluímos, para
fixo, que a fração é inteira para todo
.
Resposta
O produto de quaisquer
números inteiros positivos consecutivos é divisível por
.