*22. Use a indução matemática para mostrar que o produto de quaisquer n números inteiros positivos consecutivos é divisivel por n!. [Dica: Use a identidade m(m+1) \cdots(m+n -1) / n!=(m-1) m(m+1) \cdots(m+n-2) / n!+m(m+1) \cdots(m+n-2) /(n-1)!\cdot]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que o produto de quaisquer n números inteiros positivos consecutivos
m,\;m+1,\;\dots,\;m+n-1
é divisível por n!.
O conteúdo usado será indução dupla: indução em n e, para cada n fixo, indução em m. Também usaremos a identidade sugerida
\frac{m(m+1)\cdots(m+n-1)}{n!} = \frac{(m-1)\,m\,(m+1)\cdots(m+n-2)}{n!} + \frac{m\,(m+1)\cdots(m+n-2)}{(n-1)!}.

Passo 2

Base da indução em n: para n=1 o produto de um único inteiro m é m, e 1!=1 divide m. Logo, a propriedade vale para n=1 e todo m\ge1.

Passo 3

Passo indutivo em n: suponha que, para certo n-1\ge1, para todo m\ge1 vale
\frac{m\,(m+1)\cdots(m+n-2)}{(n-1)!}\in\mathbb{Z}.
Vamos provar que então, para n, para todo m\ge1,
\frac{m\,(m+1)\cdots(m+n-1)}{n!}\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Base da indução em m (para n fixo): para m=1 temos
\frac{1\cdot2\cdots n}{n!} =\frac{n!}{n!}=1\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Passo indutivo em m: suponha que para um dado m-1\ge1
a_{m-1}=\frac{(m-1)\,m\,(m+1)\cdots(m+n-2)}{n!}
é inteiro. Pela hipótese de indução em n, também
b_m=\frac{m\,(m+1)\cdots(m+n-2)}{(n-1)!}
é inteiro. Usando a identidade dada,
\frac{m\,(m+1)\cdots(m+n-1)}{n!} = a_{m-1}+b_m,
que é soma de dois inteiros e portanto inteiro. Assim concluímos, para n fixo, que a fração é inteira para todo m.

Resposta

O produto de quaisquer n números inteiros positivos consecutivos é divisível por n!.

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