(a) Mostre que o conjunto
é ortogonal no intervalo
.
(b) Determine a norma de cada função no item (a). Construa um conjunto ortonormal.
(b) Determine a norma de cada função no item (a). Construa um conjunto ortonormal.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência de funções
definidas no intervalo
. Precisamos mostrar que elas são ortogonais nesse intervalo e depois calcular a norma de cada uma para construir um conjunto ortonormal.
Passo 2
Para provar a ortogonalidade, consideremos dois índices distintos
e calculemos
Usamos a identidade produto-para-soma:
Aqui
e
. Logo
Ao integrar, cada termo dá
Mas
, e
. Então
. Isso mostra ortogonalidade: para
,
Passo 3
Para a norma de cada função, calculamos
Usamos
, obtendo
Portanto
Passo 4
Para tornar o conjunto ortonormal, basta dividir cada
pela sua norma. Definimos
Então
onde
é o delta de Kronecker.
Resposta
(a) As funções são ortogonais pois para
o integral de produto é zero.
(b) Cada norma vale . O conjunto ortonormal é
(b) Cada norma vale