(a) Mostre que o conjunto
\left\{\operatorname{sen} \frac{\pi}{2 L} x, \operatorname{sen} \frac{3 \pi}{2 L} x, \operatorname{sen} \frac{5 \pi}{2 L} x, \ldots\right\}
é ortogonal no intervalo 0 \leq x \leq L.
(b) Determine a norma de cada função no item (a). Construa um conjunto ortonormal.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de funções
f_n(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2L}x\bigr)\,,\quad n=1,2,\dots
definidas no intervalo 0\le x\le L. Precisamos mostrar que elas são ortogonais nesse intervalo e depois calcular a norma de cada uma para construir um conjunto ortonormal.

Passo 2

Para provar a ortogonalidade, consideremos dois índices distintos m\neq n e calculemos
I_{mn}=\int_{0}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi}{2L}x\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2L}x\bigr)\,\mathrm{d}x.
Usamos a identidade produto-para-soma:
\sin(\alpha x)\,\sin(\beta x) =\tfrac12\bigl[\cos\bigl((\alpha-\beta)x\bigr)-\cos\bigl((\alpha+\beta)x\bigr)\bigr].
Aqui \alpha=\tfrac{(2m-1)\pi}{2L} e \beta=\tfrac{(2n-1)\pi}{2L}. Logo
I_{mn} =\tfrac12\int_{0}^{L}\!\bigl[\cos\bigl((\alpha-\beta)x\bigr)-\cos\bigl((\alpha+\beta)x\bigr)\bigr]\mathrm{d}x.
Ao integrar, cada termo dá
\int_{0}^{L}\cos(kx)\,\mathrm{d}x =\Bigl[\tfrac{\sin(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{L} =\frac{\sin(kL)}{k}-0.
Mas \alpha\pm\beta=\tfrac{(2(m\pm n)-2)\pi}{2L}=\tfrac{(m\pm n-1)\pi}{L}, e \sin((m\pm n-1)\pi)=0. Então I_{mn}=0. Isso mostra ortogonalidade: para m\neq n,
\int_{0}^{L}f_m(x)\,f_n(x)\,\mathrm{d}x=0.

Passo 3

Para a norma de cada função, calculamos
\|f_n\|^2 =\int_{0}^{L}\sin^2\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2L}x\bigr)\mathrm{d}x.
Usamos \sin^2 t=\tfrac12(1-\cos2t), obtendo
\|f_n\|^2 =\frac12\int_{0}^{L}1\,\mathrm{d}x -\frac12\int_{0}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{L}x\bigr)\mathrm{d}x =\frac{L}{2}-0 =\frac{L}{2}.
Portanto
\|f_n\|=\sqrt{\frac{L}{2}}.

Passo 4

Para tornar o conjunto ortonormal, basta dividir cada f_n pela sua norma. Definimos
\varphi_n(x) =\sqrt{\frac{2}{L}}\, \sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2L}x\bigr), \quad n=1,2,\dots
Então
\int_{0}^{L}\varphi_m(x)\,\varphi_n(x)\,\mathrm{d}x =\delta_{mn},
onde \delta_{mn} é o delta de Kronecker.

Resposta

(a) As funções são ortogonais pois para m\neq n o integral de produto é zero.
(b) Cada norma vale \|f_n\|=\sqrt{L/2}. O conjunto ortonormal é
\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\, \sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2L}x\bigr), \quad n=1,2,\dots

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