Mostre com um exemplo que a composta de uma injeção com uma sobrejeção pode não ser nem injetora nem sobrejetora.
Passo 1
Vamos construir um exemplo com três conjuntos
e duas funções
e
tais que
seja injetora,
seja sobrejetora, mas a composta
não seja nem injetora nem sobrejetora.
Passo 2
Definimos
de modo a ser injetora, ou seja, sem colapsar elementos de
:
Como
, concluímos que
é injetora.
Passo 3
Definimos
de modo a ser sobrejetora, ou seja, atingir todo elemento de
:
Aqui
, então
é sobrejetora. Note que
não é injetora porque
.
Passo 4
Analisamos a injetividade da composta
. Para
:
Em particular,
Como
com
,
não é injetora.
Passo 5
Analisamos a sobrejetividade de
. O conjunto imagem é
que é estritamente menor que
. Portanto não atinge o elemento
, e
não é sobrejetora.
Resposta
Tomando
vemos que
é injetora,
é sobrejetora, mas
não é nem injetora nem sobrejetora.