Mostre com um exemplo que a composta de uma injeção com uma sobrejeção pode não ser nem injetora nem sobrejetora.

Passo 1

Vamos construir um exemplo com três conjuntos
A=1,2, B=a,b,c, C=0,1
e duas funções fcolon Ato B e gcolon Bto C tais que f seja injetora, g seja sobrejetora, mas a composta gcirc f não seja nem injetora nem sobrejetora.

Passo 2

Definimos f de modo a ser injetora, ou seja, sem colapsar elementos de A:
f(1)=a, f(2)=b
Como f(1)neq f(2), concluímos que f é injetora.

Passo 3

Definimos g de modo a ser sobrejetora, ou seja, atingir todo elemento de C:
g(a)=0, g(b)=0, g(c)=1
Aqui g(B)=0,1=C, então g é sobrejetora. Note que g não é injetora porque g(a)=g(b).

Passo 4

Analisamos a injetividade da composta (gcirc f)colon Ato C. Para xin A:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)
Em particular,
(gcirc f)(1)=g(f(1))=g(a)=0, (gcirc f)(2)=g(f(2))=g(b)=0
Como (gcirc f)(1)=(gcirc f)(2) com 1neq2, ;gcirc f não é injetora.

Passo 5

Analisamos a sobrejetividade de gcirc f. O conjunto imagem é
(gcirc f)(A)=,0,
que é estritamente menor que C=0,1. Portanto não atinge o elemento 1in C, e gcirc f não é sobrejetora.

Resposta

Tomando
fcolon Ato B,;f(1)=a,;f(2)=b e gcolon Bto C,;g(a)=0,;g(b)=0,;g(c)=1,
vemos que f é injetora, g é sobrejetora, mas gcirc f não é nem injetora nem sobrejetora.

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