Classifique as funções seguintes em:
I) injetora
III) bijetora
II) sobrejetora
IV) não é sobrejetora nem injetora
g: R R+ tal que
g(x)=1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a função
gcolon RtoR+, g(x)=1-x^2
quanto às propriedades de injetividade e sobrejetividade. Vamos usar as definições:
g é injetora se, sempre que g(x1)=g(x2), então x1=x2.
g é sobrejetora se, para todo y no contradomínio R+, existe xinR com g(x)=y.

Passo 2

Testando injetividade, note que para qualquer aneq0 vale
g(a)=1-a^2=g(-a),
porém aneq -a. Isso mostra que existem valores distintos em R que são enviados ao mesmo valor, logo g não é injetora.

Passo 3

Testando sobrejetividade, observamos que
maxxinRg(x)=g(0)=1,
e que quando |x|toinfty, g(x)=1-x^2to -infty. Portanto a imagem de g é o intervalo (-infty,1], que não cobre todo o contradomínio R+ (por exemplo não existe x com g(x)=2). Assim, g não é sobrejetora.

Resposta

IV

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