Mostre que a função
definida por
se
e
se
é bijetora.
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
se
e
se
. Para mostrar que
é bijetora, precisamos provar que é injetora e sobrejetora.
Passo 2
Provar injetividade. Sejam
tais que
.
Caso 1: se e
, então
e
, logo
implica
.
Caso 2: se e
, então
e
, e
implica
, ou seja
e
.
Caso 3: se um entre é não negativo e o outro é negativo, então
é par e
é ímpar, não podendo ser iguais.
Assim, em todos os casos e
é injetora.
Caso 1: se
Caso 2: se
Caso 3: se um entre
Assim, em todos os casos
Passo 3
Provar sobrejetividade. Seja
.
Se é par, escreva
com
e tome
; então
.
Se é ímpar, escreva
com
e tome
; então
.
Portanto, para todo existe
com
e
é sobrejetora.
Se
Se
Portanto, para todo
Resposta
A função
é bijetora.