Mostre que a função f: Z I N definida por f(n)=2 n se n >= 0 e f(n)=(-2) n-1 se n<0 é bijetora.

Passo 1

O enunciado define a função fcolon ZtoN dada por f(n)=2n se n>=0 e f(n)=-2n-1 se n<0. Para mostrar que f é bijetora, precisamos provar que é injetora e sobrejetora.

Passo 2

Provar injetividade. Sejam n1,n2inZ tais que f(n1)=f(n2).
Caso 1: se n1>=0 e n2>=0, então f(n1)=2n1 e f(n2)=2n2, logo 2n1=2n2 implica n1=n2.
Caso 2: se n1<0 e n2<0, então f(n1)=-2n1-1 e f(n2)=-2n2-1, e f(n1)=f(n2) implica -2n1-1=-2n2-1, ou seja 2n1=2n2 e n1=n2.
Caso 3: se um entre n1,n2 é não negativo e o outro é negativo, então f(n1) é par e f(n2) é ímpar, não podendo ser iguais.
Assim, em todos os casos n1=n2 e f é injetora.

Passo 3

Provar sobrejetividade. Seja minN.
Se m é par, escreva m=2k com kinN e tome n=k>=0; então f(n)=2k=m.
Se m é ímpar, escreva m=2k+1 com kinNcup0 e tome n=-(k+1)<0; então f(n)=-2(-k-1)-1=2k+1=m.
Portanto, para todo minN existe ninZ com f(n)=m e f é sobrejetora.

Resposta

A função f é bijetora.

Exercícios de Livros Relacionados