Resumindo o enunciado: temos inteiros a1,a2,dots,an e queremos provar que a soma ponderada pelo valor absoluto satisfaz
|sumi=1^nai|<=sumi=1^nl|air|
O conteúdo é a desigualdade triangular estendida para somas de vários termos, e vamos precisar usar a propriedade básica de módulo de inteiros e somar essas desigualdades.
Passo 2
Lembramos que para qualquer inteiro
Isto é consequência direta de
ou seja, e .
Passo 3
Agora somamos as n desigualdades -|ai|<= ai<= |ai| para i=1,2,dots,n. Pelo fato de que somar inequações de mesmo sentido preserva o sentido, obtemos
sumi=1^nl(-|ai|r);<=;sumi=1^nai;<=;sumi=1^n|ai|
Isso dá
-sumi=1^n|ai|;<=;sumi=1^nai;<=;sumi=1^n|ai|
Passo 4
Finalmente, por definição de valor absoluto, se um número S satisfaz -M<= S<= M então |S|<= M. Aplicando isso a
S=sumi=1^nai e M=sumi=1^n|ai|,
concluímos exatamente
|sumi=1^nai|<=sumi=1^n|ai|
Resposta
boxed|sumi=1^nai|<=sumi=1^n|ai|
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 164.a