Sejam a1, a2, ldots, an in Z. Prove que:
|sumi=1^n ai| <= sumi=1^n|ai|;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos inteiros a1,a2,dots,an e queremos provar que a soma ponderada pelo valor absoluto satisfaz
|sumi=1^nai|<=sumi=1^nl|air|
O conteúdo é a desigualdade triangular estendida para somas de vários termos, e vamos precisar usar a propriedade básica de módulo de inteiros e somar essas desigualdades.

Passo 2

Lembramos que para qualquer inteiro
Isto é consequência direta de
ou seja, e .

Passo 3

Agora somamos as n desigualdades -|ai|<= ai<= |ai| para i=1,2,dots,n. Pelo fato de que somar inequações de mesmo sentido preserva o sentido, obtemos
sumi=1^nl(-|ai|r);<=;sumi=1^nai;<=;sumi=1^n|ai|
Isso dá
-sumi=1^n|ai|;<=;sumi=1^nai;<=;sumi=1^n|ai|

Passo 4

Finalmente, por definição de valor absoluto, se um número S satisfaz -M<= S<= M então |S|<= M. Aplicando isso a
S=sumi=1^nai e M=sumi=1^n|ai|,
concluímos exatamente
|sumi=1^nai|<=sumi=1^n|ai|

Resposta

boxed|sumi=1^nai|<=sumi=1^n|ai|

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