Mostre que estas igualdades são válidas.
\{\lambda\}^{*}=\{\lambda\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se L é a linguagem contendo apenas a cadeia vazia, ou seja \,L=\{\lambda\}, então o fecho de Kleene de L só tem a cadeia vazia:
L^*=\{\lambda\}.
O conteúdo é teoria de linguagens formais e precisamos usar a definição de fecho de Kleene.

Passo 2

Pela definição,
L^*=\bigcup_{n=0}^{\infty}L^n,
onde L^n é o produto de L consigo mesma n vezes, com a convenção
L^0=\{\lambda\}.

Passo 3

Para n\ge1, como L=\{\lambda\}, qualquer concatenação de n cópias de \lambda continua sendo \lambda. Logo
L^n=\{\underbrace{\lambda\lambda\cdots\lambda}_{n\text{ vezes}}\}=\{\lambda\}.

Passo 4

Tomando a união para todos os n\ge0, cada L^n é \{\lambda\}, então
L^*=\bigcup_{n=0}^{\infty}\{\lambda\}=\{\lambda\}.

Resposta

\{\lambda\}^*=\{\lambda\}

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