4.6.2 (a) Mostre que
(b) Mostre como a equação tensorial precedente pode ser interpretada como um enunciado da continuidade de carga e corrente em espaço e tempo tridimensionais ordinários.
© Se sabemos que essa equação é válida em todas as estruturas de referência da Lorentz, por que não podemos concluir que
é um vetor?
© Se sabemos que essa equação é válida em todas as estruturas de referência da Lorentz, por que não podemos concluir que
Passo 1
O enunciado retoma as equações de Maxwell no formalismo tensorial, em particular
onde
é o tensor de campo eletromagnético e
é a 4-corrente. Precisamos:
(a) mostrar que dessa equação segue ;
(b) interpretar como a equação de continuidade usual
;
© discutir por que o fato de valer em todas as bases inerciais da Lorentz não basta para garantir que
seja, de fato, um 4-vetor.
(a) mostrar que dessa equação segue
(b) interpretar
© discutir por que o fato de
Passo 2
Para (a), basta contrair a equação de Maxwell em
com
:
Mas
, logo
Portanto
Passo 3
Para (b), escrevemos componentes espaço-tempo em coordenadas padrão
,
. Define-se
Então
A condição
torna-se justamente
que é a equação de continuidade de carga no espaço tridimensional.
Passo 4
Para ©, atenção: o fato de
valer em todas as bases inerciais apenas nos diz que esse escalar é invariante de Lorentz. Mas isso não prova que
transforma como vetor, pois poderia haver outras coleções de quatro funções que não obedecem à lei de transformação vetorial usual e, ainda assim, manter a forma
em todas as bases. Em outras palavras, a validade universal de uma equação escalar não impõe automaticamente a transformação vetorial de cada um de seus termos. Para concluir que
é 4-vetor, precisaríamos postular ou derivar sua lei de transformação sob o grupo de Lorentz, e não apenas a invariância da divergência.
Resposta
(a)
.
(b) Essa equação equivale a .
© Porque a invariância escalar em todas as bases não garante, por si só, que
obedeça à lei de transformação vetorial de Lorentz.
(b) Essa equação equivale a
© Porque a invariância escalar