4.6.2 (a) Mostre que
(b) Mostre como a equação tensorial precedente pode ser interpretada como um enunciado da continuidade de carga e corrente em espaço e tempo tridimensionais ordinários.
© Se sabemos que essa equação é válida em todas as estruturas de referência da Lorentz, por que não podemos concluir que jmu é um vetor?

Passo 1

O enunciado retoma as equações de Maxwell no formalismo tensorial, em particular
partialnu F^munu=4pic,j^mu,
onde é o tensor de campo eletromagnético e é a 4-corrente. Precisamos:
(a) mostrar que dessa equação segue ;
(b) interpretar como a equação de continuidade usual ;
© discutir por que o fato de valer em todas as bases inerciais da Lorentz não basta para garantir que seja, de fato, um 4-vetor.

Passo 2

Para (a), basta contrair a equação de Maxwell em partialmul(partialnu F^munur) =4pic,partialmu j^mu com partialmupartialnu F^munu =tfrac12l(partialmupartialnu-partialnupartialmur)F^munu =0 :
0=4pic,partialmu j^mu Longrightarrow partialmu j^mu=0
Mas , logo
Portanto

Passo 3

Para (b), escrevemos componentes espaço-tempo em coordenadas padrão j^mu=(j^0,j^i)=(c,rho,;j) , partialmu j^mu =partial0 j^0+partiali j^i =partialpartial (ct)(c,rho)+nabla!cdot!j =partial rhopartial t+nabla!cdot!j, . Define-se
partial rhopartial t+nabla!cdot!j=0,
Então
A condição torna-se justamente
que é a equação de continuidade de carga no espaço tridimensional.

Passo 4

Para ©, atenção: o fato de valer em todas as bases inerciais apenas nos diz que esse escalar é invariante de Lorentz. Mas isso não prova que transforma como vetor, pois poderia haver outras coleções de quatro funções que não obedecem à lei de transformação vetorial usual e, ainda assim, manter a forma em todas as bases. Em outras palavras, a validade universal de uma equação escalar não impõe automaticamente a transformação vetorial de cada um de seus termos. Para concluir que é 4-vetor, precisaríamos postular ou derivar sua lei de transformação sob o grupo de Lorentz, e não apenas a invariância da divergência.

Resposta

(a) .
(b) Essa equação equivale a .
© Porque a invariância escalar em todas as bases não garante, por si só, que obedeça à lei de transformação vetorial de Lorentz.

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