4.6.2 (a) Mostre que
(b) Mostre como a equação tensorial precedente pode ser interpretada como um enunciado da continuidade de carga e corrente em espaço e tempo tridimensionais ordinários.
(c) Se sabemos que essa equação é válida em todas as estruturas de referência da Lorentz, por que não podemos concluir que j_{\mu} é um vetor?

Passo 1

O enunciado retoma as equações de Maxwell no formalismo tensorial, em particular
\partial_\nu F^{\mu\nu}=\frac{4\pi}{c}\,j^\mu,
onde F^{\mu\nu} é o tensor de campo eletromagnético e j^\mu é a 4-corrente. Precisamos:
(a) mostrar que dessa equação segue \partial_\mu j^\mu=0;
(b) interpretar \partial_\mu j^\mu=0 como a equação de continuidade usual \nabla\!\cdot\!\mathbf{j}+\partial_t\rho=0;
(c) discutir por que o fato de \partial_\mu j^\mu=0 valer em todas as bases inerciais da Lorentz não basta para garantir que j_\mu seja, de fato, um 4-vetor.

Passo 2

Para (a), basta contrair a equação de Maxwell em \mu com \partial_\mu:
\partial_\mu\bigl(\partial_\nu F^{\mu\nu}\bigr) =\frac{4\pi}{c}\,\partial_\mu j^\mu.
Mas F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}, logo
\partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu} =\tfrac12\bigl(\partial_\mu\partial_\nu-\partial_\nu\partial_\mu\bigr)F^{\mu\nu} =0.
Portanto
0=\frac{4\pi}{c}\,\partial_\mu j^\mu \quad\Longrightarrow\quad \partial_\mu j^\mu=0.

Passo 3

Para (b), escrevemos componentes espaço-tempo em coordenadas padrão x^0=ct, x^i\,(i=1,2,3). Define-se
j^\mu=(j^0,j^i)=(c\,\rho,\;\mathbf{j}).
Então
\partial_\mu j^\mu =\partial_0 j^0+\partial_i j^i =\frac{\partial}{\partial (ct)}(c\,\rho)+\nabla\!\cdot\!\mathbf{j} =\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\!\cdot\!\mathbf{j}\,.
A condição \partial_\mu j^\mu=0 torna-se justamente
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\!\cdot\!\mathbf{j}=0,
que é a equação de continuidade de carga no espaço tridimensional.

Passo 4

Para (c), atenção: o fato de \partial_\mu j^\mu=0 valer em todas as bases inerciais apenas nos diz que esse escalar é invariante de Lorentz. Mas isso não prova que j^\mu transforma como vetor, pois poderia haver outras coleções de quatro funções que não obedecem à lei de transformação vetorial usual e, ainda assim, manter a forma \partial_\mu j^\mu=0 em todas as bases. Em outras palavras, a validade universal de uma equação escalar não impõe automaticamente a transformação vetorial de cada um de seus termos. Para concluir que j_\mu é 4-vetor, precisaríamos postular ou derivar sua lei de transformação sob o grupo de Lorentz, e não apenas a invariância da divergência.

Resposta

(a) \partial_\mu j^\mu=0.
(b) Essa equação equivale a \displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\!\cdot\!\mathbf{j}=0.
(c) Porque a invariância escalar \partial_\mu j^\mu=0 em todas as bases não garante, por si só, que j_\mu obedeça à lei de transformação vetorial de Lorentz.

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