a) Mostre que os números inteiros positivos menores que 11, exceto 1 e 10, podem ser separados em pares de in-
teiros, de tal modo que cada par consista de inteiros que são inversos de outro módulo 11 .
b) Use o item (a) para mostrar que 10!\equiv-1(\bmod 11).

Passo 1

O enunciado trabalha com aritmética em \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, em particular com o grupo multiplicativo dos não nulos módulo 11. Precisamos ver como os inteiros
2,3,4,5,6,7,8,9
podem ser emparelhados dois a dois, de modo que em cada par os elementos sejam inversos mútuos em módulo 11. Em seguida usaremos esse emparelhamento para calcular \,10!\bmod11.

Passo 2

Vamos primeiro achar todos os x\in\{1,2,\dots,10\} tais que
x^2\equiv1\pmod{11}.
Escrevendo
x^2-1\equiv(x-1)(x+1)\equiv0\pmod{11},
como 11 é primo segue que x-1\equiv0 ou x+1\equiv0\pmod{11}. Logo as únicas soluções são
x\equiv1\pmod{11} \quad\text{e}\quad x\equiv-1\equiv10\pmod{11}.
Isto mostra que somente 1 e 10 são auto-inversos (ou seja, x^{-1}=x) em \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}.

Passo 3

Como em um corpo finito todo elemento não nulo tem inverso único, os demais 8 elementos \{2,3,4,5,6,7,8,9\} não podem ser auto-inversos, logo cada um emparelha-se com seu inverso distinto. Calculando alguns produtos:
2\cdot6=12\equiv1,\quad 3\cdot4=12\equiv1,\quad 5\cdot9=45\equiv1,\quad 7\cdot8=56\equiv1 \pmod{11}.
Portanto os pares de inversos são (2,6), (3,4), (5,9) e (7,8).

Passo 4

Agora escrevemos
10! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10.
Em módulo 11, ao multiplicar cada par de inversos obtemos 1:
2\cdot6\equiv1,\; 3\cdot4\equiv1,\; 5\cdot9\equiv1,\; 7\cdot8\equiv1\pmod{11}.
Logo
2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\equiv1\pmod{11}.
Multiplicando por 1 e por 10 resta
10! \equiv 1\cdot\bigl(2\cdots9\bigr)\cdot10 \equiv 1\cdot10 \equiv10\equiv-1\pmod{11}.

Resposta

10!\equiv-1\pmod{11}.

Exercícios de Livros Relacionados