a) Mostre que os números inteiros positivos menores que 11, exceto 1 e 10, podem ser separados em pares de in-
teiros, de tal modo que cada par consista de inteiros que são inversos de outro módulo 11 .
b) Use o item (a) para mostrar que
.
teiros, de tal modo que cada par consista de inteiros que são inversos de outro módulo 11 .
b) Use o item (a) para mostrar que
Passo 1
O enunciado trabalha com aritmética em
, em particular com o grupo multiplicativo dos não nulos módulo
. Precisamos ver como os inteiros
podem ser emparelhados dois a dois, de modo que em cada par os elementos sejam inversos mútuos em módulo
. Em seguida usaremos esse emparelhamento para calcular
.
Passo 2
Vamos primeiro achar todos os
tais que
Escrevendo
como
é primo segue que
ou
. Logo as únicas soluções são
Isto mostra que somente
e
são auto-inversos (ou seja,
) em
.
Passo 3
Como em um corpo finito todo elemento não nulo tem inverso único, os demais
elementos
não podem ser auto-inversos, logo cada um emparelha-se com seu inverso distinto. Calculando alguns produtos:
Portanto os pares de inversos são
,
,
e
.
Passo 4
Agora escrevemos
Em módulo
, ao multiplicar cada par de inversos obtemos
:
Logo
Multiplicando por
e por
resta