a) Mostre que (\overline{1} \cdot \overline{0})+(1 \cdot \overline{0})=1.
b) Traduza a equação da parte (a) em uma equivalência proposicional, trocando cada 0 por um \mathbf{F}, cada 1 por um \mathbf{V}, cada soma booleana por uma disjunção, cada produto booleano por uma conjunção, cada complementação por uma negação e os sinais de igual por um sinal de equivalência proposicional.

Passo 1

O exercício trata de álgebra booleana: na parte (a) precisamos verificar, usando as propriedades de complemento, conjunção e disjunção, que
(\overline{1}\cdot\overline{0})+(1\cdot\overline{0})=1.
Na parte (b) vamos traduzir essa igualdade em uma equivalência proposicional trocando cada símbolo conforme indicado.

Passo 2

Usamos a propriedade do complemento em álgebra booleana: \overline{1}=0 e \overline{0}=1.

Passo 3

Substituindo em cada produto temos
\overline{1}\cdot\overline{0} =0\cdot1=0, \qquad 1\cdot\overline{0} =1\cdot1=1.

Passo 4

Agora aplicamos a disjunção (soma booleana):
0 + 1 = 1.
Logo
(\overline{1}\cdot\overline{0})+(1\cdot\overline{0})=1.

Passo 5

Para a tradução em equivalência proposicional, trocamos 1\mapsto\mathbf V, 0\mapsto\mathbf F, “ +” por “ \vee”, “ \cdot” por “ \wedge”, “ \overline{\\ }” por “ \neg” e “ =” por “ \leftrightarrow”. Assim obtemos
(\neg\mathbf V\wedge\neg\mathbf F)\vee(\mathbf V\wedge\neg\mathbf F)\;\leftrightarrow\;\mathbf V.

Resposta

a) (\overline{1}\cdot\overline{0})+(1\cdot\overline{0})=1.
b) (\neg\mathbf V\wedge\neg\mathbf F)\vee(\mathbf V\wedge\neg\mathbf F)\leftrightarrow \mathbf V.

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