Mostre que são perfeitos os números 496 e 8128 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os números 496 e 8128 são perfeitos. Um número natural n é dito perfeito se a soma de todos os seus divisores próprios (isto é, todos os divisores de n exceto n próprio) for exatamente igual a n. Para isso, vamos usar a fatoração prima e a propriedade multiplicativa da função soma de divisores.

Passo 2

Primeiro, fatoramos
496 = 2^4 cdot 31,
onde 2 e 31 são primos. A soma de todos os divisores de um número n = p1^alpha1 p2^alpha2cdots é dada por
sigma(n) = prodil(1 + pi + pi^2 + cdots + pi^alphair) = prodipi^alphai+1-1pi-1
Usando isso em 496:

Passo 3

sigma(496) = 2^4+1-12-1;times;31^1+1-131-1 = (2^5 - 1)times31^2 -130 = 31 times 961-130 = 31 times 96030 = 31 times 32 = 992
Como a soma dos divisores próprios é sigma(496) - 496 = 992 - 496 = 496, concluímos que 496 é perfeito.

Passo 4

Agora, fatoramos
8128 = 2^6 cdot 127,
onde 127 é primo. Aplicando a mesma fórmula:

Passo 5

sigma(8128) = 2^6+1-12-1;times;127^1+1-1127-1 = (2^7 - 1)times127^2 -1126 = 127 times 16129-1126 = 127 times 16128126 = 127 times 128 = 16256
A soma dos divisores próprios é sigma(8128)-8128 = 16256-8128 = 8128, logo 8128 também é perfeito.

Resposta

Os números 496 e 8128 são perfeitos.

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