Mostre que, para todo n in N^*, n <= sigma(n) <= n^2.

Passo 1

O enunciado pede que, para todo ninN^*, se mostre que
n <= sigma(n) <= n^2,
onde sigma(n) é a soma dos divisores positivos de n.

Passo 2

Para a desigualdade inferior, note que 1 e n são divisores de n, logo
sigma(n) = sumd mid n d >= 1 + n >= n

Passo 3

Para a desigualdade superior, seja tau(n) o número de divisores de n. Como cada divisor d satisfaz d <= n, temos
sigma(n) = sumd mid n d <= sumd mid n n = n cdot tau(n)
Além disso, como tau(n) <= n, concluímos
sigma(n) <= n cdot n = n^2

Resposta

Para todo ninN^*, vale
n ;<=; sigma(n) ;<=; n^2

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