(Unicamp-89) É possível encontrar dois números, ambos divisíveis por 7, tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado pede para ver se existem dois inteiros
e
, ambos divisíveis por 7, tais que ao dividir
por
o resto seja 39. O conteúdo aqui é o Teorema da Divisão e a aritmética modular (mod 7).
Passo 2
Pelo Teorema da Divisão, se dividimos
por
temos
com
. Como
e
são múltiplos de 7, escrevemos
(logo
implica
) e temos
Passo 3
Como
é múltiplo de 7, do lado esquerdo
. No lado direito
, então da congruência
seguiria
. Mas
ou seja,
. Isso é uma contradição.
Resposta
Não é possível, pois o resto de uma divisão entre dois múltiplos de 7 também teria de ser múltiplo de 7, e
não é.