(Unicamp-89) É possível encontrar dois números, ambos divisíveis por 7, tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pede para ver se existem dois inteiros a e b, ambos divisíveis por 7, tais que ao dividir a por b o resto seja 39. O conteúdo aqui é o Teorema da Divisão e a aritmética modular (mod 7).

Passo 2

Pelo Teorema da Divisão, se dividimos a por b temos
a = bq + 39,
com 0 <= 39 < b. Como a e b são múltiplos de 7, escrevemos b=7k (logo b>39 implica k>=6) e temos
a = 7k,q + 39

Passo 3

Como a é múltiplo de 7, do lado esquerdo aequiv0pmod7. No lado direito 7k,qequiv0pmod7, então da congruência
0 equiv a equiv 7kq + 39 equiv 0 + 39 pmod7
seguiria 39equiv0pmod7. Mas
39 div 7 = 5 e resto 4,
ou seja, 39equiv4pmod7neq0. Isso é uma contradição.

Resposta

Não é possível, pois o resto de uma divisão entre dois múltiplos de 7 também teria de ser múltiplo de 7, e 39 não é.

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