Mostre que todo número natural
pode ser escrito
, onde
e m é ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução, que todo número natural
pode ser escrito na forma
onde
e
é ímpar. O conteúdo envolvido é o método de indução finita aplicado à propriedade “
: existe
e
ímpar tais que
”.
Passo 2
Base da indução:
. Como
e
é ímpar, basta escolher
e
. De fato,
com
e
ímpar. Logo,
é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para todo inteiro
tal que
a propriedade
seja verdadeira. Ou seja, para cada
existe
e
ímpar com
Passo 4
Passo de indução para
. Temos dois casos:
- Se
é ímpar, basta tomar e , pois
satisfaz a condição.
- Se
é par, então podemos escrever com . Pela hipótese de indução, existe e ímpar tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
onde
e
é ímpar. Logo,
vale também neste caso.
Passo 5
Pelo princípio da indução, a propriedade
é verdadeira para todo
. Portanto, provamos que todo número natural
pode ser escrito como
com
e
ímpar.
Resposta
Para todo natural
existem
e
ímpar tais que