Mostre que todo número natural n>2 pode ser escrito n=2^k cdot m, onde k >= 0 e m é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução, que todo número natural n>2 pode ser escrito na forma
n = 2^kcdot m,
onde k>=0 e m é ímpar. O conteúdo envolvido é o método de indução finita aplicado à propriedade “ P(n): existe k>=0 e m ímpar tais que n=2^k m”.

Passo 2

Base da indução: n=3. Como 3>2 e 3 é ímpar, basta escolher k=0 e m=3. De fato,
3 = 2^0 cdot 3
com k=0>=0 e m=3 ímpar. Logo, P(3) é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para todo inteiro m tal que 3 <= m < n a propriedade P(m) seja verdadeira. Ou seja, para cada m<n existe k'>=0 e m' ímpar com
m = 2^k'cdot m',

Passo 4

Passo de indução para n. Temos dois casos:
  1. Se n é ímpar, basta tomar k=0 e m=n, pois
n = 2^0 cdot n
satisfaz a condição.
  1. Se n é par, então podemos escrever n=2p com p<n. Pela hipótese de indução, existe k'>=0 e m' ímpar tais que
p = 2^k'cdot m'
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
n = 2p = 2l(2^k'cdot m'r) = 2^k'+1cdot m',
onde k=k'+1>=1 e m=m' é ímpar. Logo, P(n) vale também neste caso.

Passo 5

Pelo princípio da indução, a propriedade P(n) é verdadeira para todo n>=3. Portanto, provamos que todo número natural n>2 pode ser escrito como n=2^kcdot m com k>=0 e m ímpar.

Resposta

Para todo natural n>2 existem k>=0 e m ímpar tais que
n = 2^k cdot m

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