Ache todos os ternos pitagóricos primitivos das formas:
(a, 8, c)

Passo 1

O enunciado pede os ternos pitagóricos primitivos da forma (a,8,c), ou seja, inteiros positivos a,c tais que
a^2 + 8^2 = c^2
e gcd(a,8,c)=1. Vamos usar a fatoração de diferença de quadrados para resolver.

Passo 2

Reescrevendo a equação como diferença de quadrados, temos
c^2 - a^2 = 64
Definimos
u = c - a, v = c + a,
de modo que
u , v = 64,
com u,v>0 e u,v de mesma paridade (para que a e c fiquem inteiros).

Passo 3

Como 64 é par, obrigatoriamente u e v são pares. Escrevemos
u = 2u', v = 2v',
logo
u'v' = 16,
com u'<v'.

Passo 4

Os pares (u',v') positivos com u'v'=16 e u'<v' são (1,16), (2,8) e (4,4). Para cada par calculamos
a = v - u2 = v' - u', c = u + v2 = u' + v'
  • (u',v')=(4,4) a=0, descartado.
  • (u',v')=(2,8) (a,c)=(6,10), mas gcd(6,8,10)=2, não é primitivo.
  • (u',v')=(1,16) (a,c)=(15,17), com gcd(15,8,17)=1, é primitivo.

Resposta

O único terno pitagórico primitivo da forma (a,8,c) é
(15,8,17)

Exercícios de Livros Relacionados