Se
, prove que
, para todo
.
Resolução (por indução sobre n ):
; o segundo membro neste caso é
. Logo, vale a propriedade para
.
Seja
e suponhamos
Multiplicando a igualdade anterior por
:
Somando 1 a ambos os membros e passando
para o segundo:
Daí:
Resolução (por indução sobre n ):
Seja
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
, que para todo inteiro
e todo
vale
O conteúdo é o Princípio da Indução Matemática e manipulação algébrica de polinômios.
Passo 2
(Base da indução) Para
o lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo a propriedade vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que existe
tal que
Passo 4
(Método do passo indutivo) Multiplicamos a igualdade da hipótese por
:
ou seja,
Passo 5
Para chegar em
, escrevemos
Substituindo a expressão obtida no passo anterior e notando que
temos
Fatorando
:
que é exatamente a fórmula para
.
Passo 6
Pelo Princípio da Indução, a igualdade vale para todo
.
Resposta
Para todo inteiro
e todo
vale