Se x in Z, x neq 0, prove que x^2 n+1+1=(x+1)(x^2 n-x^2 n-1+ldots-x+1), para todo n >= 0.
Resolução (por indução sobre n ):
n=0: x^2 cdot 0+1+1=x^1+1=x+1; o segundo membro neste caso é (x+1) cdot 1. Logo, vale a propriedade para n=0.
Seja r >= 0 e suponhamos
x^2 r+1+1=(x+1)(x^2 r-x^2 r-1+ldots-x+1)
Multiplicando a igualdade anterior por x^2 :
x^2 x+9+x^2=(x+1)(x^2 r+2-x^2 r+1+ldots-x^3+x^2)
Somando 1 a ambos os membros e passando x^2 para o segundo:
x^2 r+3+1=(x+1)(x^2 r+2-x^2 r+1+ldots-x^3+x^2)-(x^2-1)
Daí:
x^2 r+3+1 & =(x+1)(x^2 r+2-x^2 r+1+ldots-x^3+x^2)-(x+1)(x-1)= & =(x+1)(x^2 r+2-x^2 r+1+ldots-x^3+x^2-x+1)

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre n, que para todo inteiro xneq0 e todo n>=0 vale
x^2n+1+1 ;=; (x+1)l(x^2n-x^2n-1+cdots -x+1r)
O conteúdo é o Princípio da Indução Matemática e manipulação algébrica de polinômios.

Passo 2

(Base da indução) Para n=0 o lado esquerdo é
x^2cdot0+1+1 = x^1+1 = x+1
e o lado direito é
(x+1)l(x^0-cdots -x+1r)=(x+1)cdot1 = x+1
Logo a propriedade vale para n=0.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que existe k>=0 tal que
x^2k+1+1 = (x+1)l(x^2k-x^2k-1+cdots -x+1r)

Passo 4

(Método do passo indutivo) Multiplicamos a igualdade da hipótese por x^2:
x^2l(x^2k+1+1r) = x^2,(x+1)l(x^2k-x^2k-1+cdots -x+1r),
ou seja,
x^2k+3 + x^2 = (x+1)l(x^2k+2-x^2k+1+cdots -x^3 + x^2r)

Passo 5

Para chegar em x^2(k+1)+1+1 = x^2k+3+1, escrevemos
x^2k+3+1 = l(x^2k+3+x^2r) - l(x^2-1r)
Substituindo a expressão obtida no passo anterior e notando que
x^2-1 = (x+1)(x-1),
temos
x^2k+3+1 = (x+1)l(x^2k+2-x^2k+1+cdots -x^3 + x^2r) - (x+1)(x-1)
Fatorando x+1:
x^2k+3+1 = (x+1)l(x^2k+2-x^2k+1+cdots -x^3 + x^2 - x +1r),
que é exatamente a fórmula para n=k+1.

Passo 6

Pelo Princípio da Indução, a igualdade vale para todo n>=0.

Resposta

Para todo inteiro xneq0 e todo n>=0 vale
x^2n+1+1 = (x+1)l(x^2n-x^2n-1+cdots -x+1r)

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