(a) Se s>0, s neq 1, usar a fórmula de Euler para provar que
sumk=1^n 1k^s=n^1-s1-s+C(s)+s integraln^infty t-[t]t^s+1 d t
sendo
C(s)=1+1s-1-s integral1^infty t-[t]t^s+1 d t
(b) Se s> i, demonstrar que C(s)=zeta(s), sendo zeta a função zeta de Riemann definida, para s>1, pela série
zeta(s)=sumk=1^infty 1k^2
Esta série zeta(s) diverge para s <= 1. Todavia, uma vez que a fórmula para C(s) da alinea (a) tem significado para 0<s<1, pode usar-se para generalizar a definição de zeta(s) ao intervalo aberto 0<s<1. Assim, para s>0 e s neq 1 temos
zeta(s)=1+1s-1-s integral1^infty t-[t]t^2+1 d t
Isto é um teorema se s>1, e uma definição se 0<s<1.

Passo 1

O enunciado pede para, dado s>0 com sneq1, aplicar a fórmula de Euler (ou fórmula de soma-integral) à soma parcial
sumk=1^n1k^s
de modo a expressá-la como uma integral de t^-s, mais termos de contorno e um termo que definiremos como C(s). Em seguida, para s>1, devemos mostrar que esse C(s) coincide com a função zeta de Riemann
zeta(s)=sumk=1^inftyk^-s.

Passo 2

A fórmula de Euler para uma função f de classe C^1 em [1,n] diz:
sumk=1^nf(k) =integral1^nf(t),dt ;+;integral1^n(t-[t]),f'(t),dt;+;f(1);+;f(n),(n-[n]),
onde [t] é a parte inteira de t. Como n é inteiro, n-[n]=0, e fica
sumk=1^nf(k) =integral1^nf(t),dt+integral1^n(t-[t]),f'(t),dt+f(1)

Passo 3

Escolhendo f(t)=t^-s temos
f'(t)=-s,t^-s-1, integral1^nf(t),dt =integral1^nt^-s,dt =[t^,1-s1-s]1^n =n^1-s-11-s,
e f(1)=1. Substituindo na fórmula de Euler:
sumk=1^n1k^s =n^1-s-11-s +integral1^n(t-[t])l(-s,t^-s-1r),dt +1
Isto é
sumk=1^n1k^s =n^1-s-11-s+1 ;-;sintegral1^nt-[t]t^s+1,dt

Passo 4

Reescrevendo
n^1-s-11-s+1 =n^1-s1-s -11-s+1 =n^1-s1-s+ss-1,
e observando que
-;sintegral1^nt-[t]t^s+1,dt = sintegraln^inftyt-[t]t^s+1,dt ;-; sintegral1^inftyt-[t]t^s+1,dt,
fazemos a definição
C(s) =ss-1 ;-; sintegral1^inftyt-[t]t^s+1,dt =1+1s-1 ;-; sintegral1^inftyt-[t]t^s+1,dt
Assim obtemos justamente
sumk=1^n1k^s =n^1-s1-s ;+;C(s) ;+;sintegraln^inftyt-[t]t^s+1,dt

Passo 5

Para s>1, quando ntoinfty temos n^1-sto0 e
integraln^inftyt-[t]t^s+1,dt <= integraln^infty1t^s,dt =n^1-ss-1;longrightarrow0
Logo, fazendo ntoinfty em
sumk=1^nk^-s=n^1-s1-s+C(s)+cdots,
vem
sumk=1^infty1k^s=C(s)
Mas o lado esquerdo é exatamente zeta(s) para s>1. Portanto C(s)=zeta(s).

Resposta

(a) Para s>0, sneq1,
sumk=1^n1k^s =n^1-s1-s + C(s) + sintegraln^inftyt-[t]t^s+1,dt,
onde
C(s) =1+1s-1 - sintegral1^inftyt-[t]t^s+1,dt
(b) Para s>1,
C(s)=zeta(s)

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