(a) Se
, usar a fórmula de Euler para provar que
sendo
(b) Se
i, demonstrar que
, sendo
a função zeta de Riemann definida, para
, pela série
Esta série
diverge para
. Todavia, uma vez que a fórmula para
da alinea (a) tem significado para
, pode usar-se para generalizar a definição de
ao intervalo aberto
. Assim, para
e
temos
Isto é um teorema se
, e uma definição se
.
Passo 1
O enunciado pede para, dado
com
, aplicar a fórmula de Euler (ou fórmula de soma-integral) à soma parcial
de modo a expressá-la como uma integral de
, mais termos de contorno e um termo que definiremos como
. Em seguida, para
, devemos mostrar que esse
coincide com a função zeta de Riemann
.
Passo 2
A fórmula de Euler para uma função
de classe
em
diz:
onde
é a parte inteira de
. Como
é inteiro,
, e fica
Passo 3
Escolhendo
temos
e
. Substituindo na fórmula de Euler:
Isto é
Passo 4
Reescrevendo
e observando que
fazemos a definição
Assim obtemos justamente
Passo 5
Para
, quando
temos
e
Logo, fazendo
em
,
vem
vem
Mas o lado esquerdo é exatamente
para
. Portanto
.
Resposta
(a) Para
,
,
onde
(b) Para
,