Se
é um número racional não-nulo e
é irracional, mostre que
e
são todos irracionais.
Passo 1
O enunciado diz que
é um número racional não-nulo e
é irracional. Precisamos mostrar que as combinações
são todas irracionais. Vamos usar a ideia de prova por contradição e o fato de que a soma, subtração, produto e quociente (quando possível) de números racionais é sempre racional.
Passo 2
Mostrando que
é irracional.
Suponha, por contradição, que seja racional. Como
é racional e a diferença de racionais é racional, teríamos
Suponha, por contradição, que
como diferença de números racionais, logo racional. Isso contraria a hipótese de que
é irracional. Portanto
não pode ser racional, ou seja,
é irracional.
Passo 3
Mostrando que
é irracional.
Suponha que seja racional. Então
Suponha que
é diferença de racionais, logo racional, contradizendo a irracionalidade de
. Assim,
é irracional.
Passo 4
Mostrando que
é irracional.
Suponha que seja racional. Como
é racional, a divisão de racionais
seria racional, ou seja,
Suponha que
seria racional, contradição. Logo
é irracional.
Passo 5
Mostrando que
é irracional.
Suponha que seja racional. Como
é racional, o produto
Suponha que
seria produto de racionais, logo racional. Mas então
seria racional, contradição. Portanto
é irracional.
Passo 6
Mostrando que
é irracional.
Suponha que seja racional. Como
é racional, o produto
Suponha que
seria racional, novamente contra a hipótese. Logo
é irracional.
Resposta
As cinco quantidades
são todas irracionais.