Se a é um número racional não-nulo e b é irracional, mostre que a+b, a-b, a b, ab e ba são todos irracionais.

Passo 1

O enunciado diz que ,a é um número racional não-nulo e ,b é irracional. Precisamos mostrar que as combinações
a+b, a-b, a,b, ab, ba
são todas irracionais. Vamos usar a ideia de prova por contradição e o fato de que a soma, subtração, produto e quociente (quando possível) de números racionais é sempre racional.

Passo 2

Mostrando que a+b é irracional.
Suponha, por contradição, que ,a+b seja racional. Como a é racional e a diferença de racionais é racional, teríamos
b = (a+b)-a
como diferença de números racionais, logo racional. Isso contraria a hipótese de que b é irracional. Portanto ,a+b não pode ser racional, ou seja, ,a+b é irracional.

Passo 3

Mostrando que a-b é irracional.
Suponha que ,a-b seja racional. Então
b = a - (a-b)
é diferença de racionais, logo racional, contradizendo a irracionalidade de b. Assim, ,a-b é irracional.

Passo 4

Mostrando que a,b é irracional.
Suponha que ,a b seja racional. Como aneq0 é racional, a divisão de racionais (a b)/a seria racional, ou seja,
b = a ba
seria racional, contradição. Logo a,b é irracional.

Passo 5

Mostrando que ab é irracional.
Suponha que ab seja racional. Como aneq0 é racional, o produto
1b = ab,1a
seria produto de racionais, logo racional. Mas então b = 1/(1/b) seria racional, contradição. Portanto ab é irracional.

Passo 6

Mostrando que ba é irracional.
Suponha que ba seja racional. Como a é racional, o produto
b = acdotba
seria racional, novamente contra a hipótese. Logo ba é irracional.

Resposta

As cinco quantidades
a+b, a-b, a,b, ab, ba
são todas irracionais.

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