Se
é um número racional positivo, explique por que o seguinte método para calcular a raiz quadrada de
funciona. Primeiro, escolha um número racional que seja um palpite razoável para o valor de
e chame essa aproximação inicial de
. A seguir, divida
por
e faça a média aritmética do resultado
, obtendo, desse modo, uma segunda aproximação
. A seguir, divida
por
e faça a média aritmética do resultado com
, obtendo uma terceira aproximação
. Esse procedimento é expresso pela fórmula
Sugestão: se
é razoavelmente próximo de
mas diferente dela, então
está entre
e
(por quê?), e assim a média aritmética de
e
está provavelmente mais perto de
. Note também que
Passo 1
O problema apresenta o método iterativo
com
fixo e
“palpite” inicial, e pede para explicar por que
. Vamos usar dois ingredientes clássicos de análise de sequência: (i) mostrar que cada
fica entre
e
, garantindo monotonicidade e limitação, e (ii) passar ao limite na relação de recorrência para identificar o valor do limite. Depois comentamos a fórmula do erro quadrático.
Passo 2
Mostramos que, para todo
,
está entre
e
.
- Se
, dividindo por obtemos logo - Se
, o raciocínio é análogo e dá
Em ambos os casos a média
fica estritamente entre
e
. Portanto:
- A sequência
é limitada (fica entre e ). - Se
ela é estritamente decrescente, e se ela é estritamente crescente.
Passo 3
Por monotonia e limitação a sequência
converge a algum limite
. Tomando limite em
vem
Como
para todo
, segue
. Logo
.
Passo 4
A fórmula do enunciado
mostra que o erro na etapa
é proporcional ao quadrado do erro em
. Isso significa que, assim que
estiver razoavelmente próximo de
, o erro cai muito rápido (convergência quadrática).
Resposta
O método funciona porque em cada iteração a nova aproximação fica entre a anterior e
, garantindo monotonicidade e limitação, o que força convergência, e o limite só pode ser
. Além disso, o erro satisfaz
o que dá convergência quadrática.