Se a é um número racional positivo, explique por que o seguinte método para calcular a raiz quadrada de a funciona. Primeiro, escolha um número racional que seja um palpite razoável para o valor de a e chame essa aproximação inicial de x1. A seguir, divida a por x1 e faça a média aritmética do resultado com x1, obtendo, desse modo, uma segunda aproximação x2. A seguir, divida a por x2 e faça a média aritmética do resultado com x2, obtendo uma terceira aproximação x3. Esse procedimento é expresso pela fórmula
xn+1=12(xn+axn), n=1,2,3, ldots
Sugestão: se x1 é razoavelmente próximo de raiza mas diferente dela, então raiza está entre x1 e ax1 (por quê?), e assim a média aritmética de x1 e ax1 está provavelmente mais perto de raiza. Note também que
xn+1-raiza=12(xn-2 raiza+axn)=12 xn(xn-raiza)^2

Passo 1

O problema apresenta o método iterativo
xn+1=12l(xn+axnr),
com a>0 fixo e x1>0 “palpite” inicial, e pede para explicar por que xntoraiza. Vamos usar dois ingredientes clássicos de análise de sequência: (i) mostrar que cada xn+1 fica entre xn e raiza, garantindo monotonicidade e limitação, e (ii) passar ao limite na relação de recorrência para identificar o valor do limite. Depois comentamos a fórmula do erro quadrático.

Passo 2

Mostramos que, para todo n, raiza está entre xn e tfracaxn.
  • Se xn>raiza, dividindo a por xn obtemos axn<araiza=raiza, logo axn<raiza<xn
  • Se xn<raiza, o raciocínio é análogo e dá xn<raiza<axn
Em ambos os casos a média
xn+1=12l(xn+axnr)
fica estritamente entre xn e raiza. Portanto:
  1. A sequência xn é limitada (fica entre minx1,raiza e maxx1,raiza).
  2. Se x1>raiza ela é estritamente decrescente, e se x1<raiza ela é estritamente crescente.

Passo 3

Por monotonia e limitação a sequência xn converge a algum limite L>=0. Tomando limite em
xn+1=12l(xn+axnr)
vem
L=12l(L+aLr) Longrightarrow 2L=L+aL Longrightarrow L^2=a
Como xn>0 para todo n, segue L=raiza. Logo xntoraiza.

Passo 4

A fórmula do enunciado
xn+1-raiza =12xnl(xn-raizar)^2
mostra que o erro na etapa n+1 é proporcional ao quadrado do erro em n. Isso significa que, assim que xn estiver razoavelmente próximo de raiza, o erro cai muito rápido (convergência quadrática).

Resposta

O método funciona porque em cada iteração a nova aproximação fica entre a anterior e raiza, garantindo monotonicidade e limitação, o que força convergência, e o limite só pode ser raiza. Além disso, o erro satisfaz
xn+1-raiza =(xn-raiza)^22xn,
o que dá convergência quadrática.

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