24.4 Obtenha a fórmula da diferença para tangentes.
Comece com a identidade do quociente para tg(u-v).
tg(u-v)=sen(u-v)cos (u-v)=sen u cos v-cos u sen vcos u cos v+sen u sen v
Para obter a expressão pedida em termos de tangentes, divida o numerador e o denominador da última expressão pela quantidade cos u cos v e aplique novamente a identidade do quociente:
tg(u-v)=sen u cos v-cos u sen vcos u cos v+sen u sen v=sen u cos vcos u cos v-cos u sen vcos u cos vcos u cos vcos u cos v+sen u sen vcos u cos v=sen ucos u-sen vcos v1+sen ucos u sen vcos v=tg u-tg v1+tg u tg v

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a fórmula de tan(u - v) a partir da identidade de quociente de seno e cosseno, ou seja,
tan(u - v) = sin(u - v)cos(u - v)
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de diferença de senos e cossenos:
sin(u - v) = sin u cos v - cos u sin v, cos(u - v) = cos u cos v + sin u sin v

Passo 2

Substituindo essas expressões na identidade do quociente, obtemos
tan(u - v) = sin u cos v - cos u sin vcos u cos v + sin u sin v

Passo 3

Para escrever tudo em termos de tan u e tan v, dividimos numerador e denominador por cos u cos v:
tan(u - v) = sin u cos vcos u cos v ;-;cos u sin vcos u cos v cos u cos vcos u cos v ;+;sin u sin vcos u cos v

Passo 4

Agora simplificamos cada fração:
sin u cos vcos u cos v = sin ucos u = tan u, cos u sin vcos u cos v = sin vcos v = tan v,
cos u cos vcos u cos v = 1, sin u sin vcos u cos v = sin ucos u,sin vcos v = tan u ,tan v
Substituindo de volta na fração, vem
tan(u - v) = tan u - tan v1 + tan u ,tan v

Resposta

tan(u - v) = tan u - tan v1 + tan u,tan v

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